Question

3．四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上的點（與B、C不重合）．點F在正方形外角∠DCG的平分線CH上，且AE=EF．求證：∠AEF=90°．

Answer 1

分析 如圖，在BA上截取BP=BE，作AM⊥EP于M，延長PE交FC的延長線于N．首先證明△APM≌△CEN，推出AM=EN，再證明△AEM≌△EFN，推出∠AEM=∠EFN，由∠EFN+∠FEN=90°，推出∠AEM+∠FEN=90°，由此即可解決問題．

解答 解：如圖，在BA上截取BP=BE，作AM⊥EP于M，延長PE交FC的延長線于N．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=∠DCG=90°，
∵PB=BE，
∴∠BPE=∠BEP=45°，AP=EC，
∵CH平分∠DCG，
∴∠ECN=∠FCG=45°，∵∠PEB=∠CEN=45°，
∴∠N=90°=∠M，∠APM=∠BPE=45°，
在△APM和△ECN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠N=90°}\\{∠APM=∠CEN}\\{AP=EC}\end{array}\right.$，
∴△APM≌△CEN，
∴AM=EN，
在Rt△AEM和Rt△EFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=EF}\\{AM=EN}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△EFN，
∴∠AEM=∠EFN，
∵∠EFN+∠FEN=90°，
∴∠AEM+∠FEN=90°，
∴∠AEF=90°．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、正方形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．