Question

6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12，以AC為直徑的半圓O交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，CE交半圓O于點(diǎn)F，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 易證∠BCE=∠ACD，則根據(jù)弦切角定理可以得到 $\widehat{AD}$與弦AD圍成的弓形的面積等于 $\widehat{CF}$與弦CF圍成的弓形的面積相等，則陰影部分的面積等于半圓的面積減去直角△ACD的面積，再減去弓形的面積，據(jù)此即可求解．

解答 解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=6cm，∠A=60°
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB，
則△ACE是等邊三角形．
∴∠BCE=90°-60°=30°，
∵AC是直徑，
∴∠CDA=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=30°，
∴∠BCE=∠ACD，
∴$\widehat{CF}$=$\widehat{AD}$=，
連接OD，作OG⊥CD于點(diǎn)G，
則∠COD=120°，OG=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{3}{2}$，CG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴陰影部分的面積為：S_扇形COD-S_△COD=$\frac{120π•{3}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×3 $\sqrt{3}$=3π-$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及圓的面積的計(jì)算，正確理解：$\widehat{AD}$與弦AD圍成的弓形的面積等于 $\widehat{CF}$與弦CF圍成的弓形的面積相等是關(guān)鍵．