Question

7．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，猜想BC，CD，AC間等量關(guān)系并證明．

Answer 1

分析 先延長CD至M，使得DM=CB，連接AM，再根據(jù)SAS判定△ABC≌△ADM，進而得到AC=AM，∠CAM=90°，判定△CAM是等腰直角三角形，最后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出結(jié)論DM+CD=$\sqrt{2}$AC即可．

解答 解：BC，CD，AC間等量關(guān)系為：BC+DC=$\sqrt{2}$AC．
理由如下：延長CD至M，使得DM=CB，連接AM，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴四邊形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，
又∵∠ADM+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADM，
在△ABC和△ADM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADM}\\{DM=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADM（SAS），
∴AC=AM，∠1=∠2，
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，即∠CAM=90°，
∴△CAM是等腰直角三角形，
∴CM=$\sqrt{2}$AC，
即DM+CD=$\sqrt{2}$AC，
∴BC+DC=$\sqrt{2}$AC．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，運用等腰直角三角形和全等三角形的性質(zhì)進行求解．