Question

16．在△ABC中，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．
（1）如圖1，若AB=BC，連接AA₁，CC₁，求證：AA₁=CC₁；
（2）如圖2，當(dāng)點C₁在線段CA的延長線上時，求∠CC₁A₁的度數(shù)；
（3）如圖3，若AB=3，BC=4，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時方向旋轉(zhuǎn)一周的過程中，點P的對應(yīng)點是點P₁，試直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段EP₁長度的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）由SAS證明△ABA₁≌△CBC₁，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，利用等腰三角形的性質(zhì)得∠CC₁B=∠C₁CB=45°，于是得到∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=90°；
（3）如圖1，過點B作BD⊥AC，D為垂足，則點D在線段AC上，在Rt△BCD中利用三角函數(shù)可計算出BD=，則當(dāng)BP與AC垂直的時候，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P₁在線段AB上時，EP₁最小，最小值=EP₁=BP₁-BE；當(dāng)P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P₁在線段AB的延長線上時，如圖2，EP₁最大，最大值=EP₁=BC+BE．

解答 （1）證明：∵將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．
∴A₁B=AB，C₁B=CB，∠A₁BC₁=∠ABC，
∴∠A₁BA=∠C₁BC，
∵AB=BC，
∴A₁B=AB=C₁B=CB，
在△ABA₁和△CBC₁中，$\left\{\begin{array}{l}{{A}_{1}B=B{C}_{1}}&{\;}\\{∠{A}_{1}BA=∠{C}_{1}BC}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABA₁≌△CBC₁（SAS），
∴AA₁=CC₁；
（2）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁
∴∠CC₁B=∠C₁CB=45°，
∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°；
（3）解：如圖1，過點B作BD⊥AC，D為垂足，
∵△ABC為銳角三角形，
∴點D在線段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)P在AC上運動，BP與AC垂直的時候，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P₁在線段AB上時，EP₁最小，
最小值為：EP₁=BP₁-BE=BD-BE=2$\sqrt{2}$-$\frac{3}{2}$；
當(dāng)P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P₁在線段AB的延長線上時，
如圖2，EP₁最大，最大值為：EP₁=BC+BE=4+$\frac{3}{2}$=$\frac{11}{2}$．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角函數(shù)以及最大值與最小值問題；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．