Question

19．王大伯準(zhǔn)備在一塊直角三角形菜地上開辟出一塊矩形菜地種植菠菜，剩余菜地種植白菜，如圖．已知∠ACB=90°，AB=50m，種植菠菜的矩形菜地CDEF的另3個(gè)頂點(diǎn)分別在AC，AB，BC上，設(shè)CD的長度為x m，矩形CDEF的面積為y m²．
（1）當(dāng)AC=40m時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值？最大值是多少？
（3）當(dāng)四邊形CDEF為正方形，且BE=10m，AE=40m時(shí)，求種植白菜的菜地面積．

Answer 1

分析 （1）矩形的面積就是長×寬，所以只要表示出DE的長即可，先根據(jù)勾股定理求出邊長BC的長，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得：DE∥CF，從而得△ADE∽△ACB，列比例式可表示出DE的長，代入面積公式可求得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，因?yàn)閤是CD的長，不能超過邊AC的長，所以要小于40m；
（2）利用配方法求y的最大值；
（3）先證明△ADE∽△ACB，列比例式可以表示BC的長，在Rt△EFB中，利用勾股定理列方程可以求得x的值，再計(jì)算種植白菜的兩個(gè)三角形的面積的和即可．

解答 解：（1）在Rt△ACB中，AC=40，AB=50，
∴BC=30，
∵CD=x，
∴AD=40-x，
∵四邊形CDEF為矩形，
∴DE∥FC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
∴$\frac{40-x}{40}$=$\frac{DE}{30}$，
∴DE=$\frac{3（40-x）}{4}$，
∴y=DC•DE=x$•\frac{3（40-x）}{4}$=-$\frac{3}{4}{x}^{2}$+30x（0＜x＜40）；
（2）y=-$\frac{3}{4}{x}^{2}$+30x=-$\frac{3}{4}$（x²-40x+400-400）=-$\frac{3}{4}$（x-20）²+300，
∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴y有最大值，
當(dāng)x=20時(shí)，y有最大值為300m²；
（3）∵四邊形CDEF為正方形，
∴DE=CD=x，DE∥FC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，
∵BE=10，AE=40，
∴$\frac{x}{BC}=\frac{40}{50}$，
∴BC=$\frac{5}{4}$x，
∴BF=BC-CF=$\frac{5}{4}$x-x=$\frac{1}{4}$x，
在Rt△EFB中，BE²=BF²+EF²，
10²=x²+（$\frac{1}{4}$x）²，
x₁=$\frac{40\sqrt{17}}{17}$，x₂=-$\frac{40\sqrt{17}}{17}$（舍）
∴CD=$\frac{40\sqrt{17}}{17}$，
∵DE∥BC，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{AE}{EB}$=$\frac{4}{1}$，
∴AD=4CD，
∴S=S_△ADE+S_△EFB=$\frac{1}{2}$•x•4x+$\frac{1}{2}$•x$•\frac{1}{4}$x=2x²+$\frac{1}{8}{x}^{2}$=$\frac{17}{8}{x}^{2}$=$\frac{17}{8}$×$\frac{1600}{17}$=200，
答：種植白菜的菜地面積200m²．

點(diǎn)評 本題是四邊形、三角形和二次函數(shù)的綜合問題，難度適中；本題綜合考查了矩形、正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定，還有二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握多邊形的面積公式是關(guān)鍵，利用相似三角形的性質(zhì)列比例式表示邊長，代入面積公式即可解決此題．