Question

2．如圖，已知矩形OABC，點A，C分別在x，y軸上，拋物線y=ax²+bx+c經過A（12，0），D（6，0）兩點，且與y軸交于點C（0，8）．動點P從點D出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線DB方向運動，設P運動的時間為t（秒），射線DB交拋物線于E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連結AP，是否存在這樣的時刻t，使得∠PAB=∠ADB？若存在請求出t的值；若不存在，請說明理由．
（3）連結CP和AE，若∠PCB＜∠AED，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將點A、D、C三點的坐標代入拋物線解析式，得到關于a，b，c的方程組，求出a，b，c的值即可；
（2）利用坐標與圖形性質得出點B的坐標，AD與AB的長，進而利用勾股定理求出DB的長，然后證明△DPA∽△DAB，進而求出DP的長即可；
（3）先利用待定系數(shù)法求出DE所在直線的解析式，然后聯(lián)立兩個函數(shù)解析式求出DE的坐標，得出有關線段的長，然后分點P在線段BD上和點P在點B上方兩種情況，利用相似三角形的判定與性質求出BP的長即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過A（12，0），D（6，0）兩點，且與y軸交于點C（0，8），
∴$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b+c=0}\\{144a+12b+c=0}\\{c=8}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{9}$，b=-2，c=8，
所以拋物線解析式為y=$\frac{1}{9}{x}^{2}$-2x+8；

（2）∵A（12，0），D（6，0），C（0，8），四邊形ABCD為矩形，
∴B（12，8），AD=6，AB=8，DB=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=10，
如圖1，當∠PAB=∠ADB時，
∵∠PAB+∠DAP=90°，
∴∠ADB+∠DAP=90°，
∴∠DPA=90°，
∵∠DPA=∠DAB=90°，∠PDA=∠ADB，
∴△DPA∽△DAB，
∴DP：DA=DA：DB，即DP：6=6：10，
∴DP=3.6，
3.6÷1=3.6（秒），
∴當t=3.6秒時，使得∠PAB=∠ADB；
（3）設BE所在直線的解析式為y=kx+m，由BE過點B（12，8）和D（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{12k+m=8}\\{6k+m=0}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{4}{3}$，m=-8，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{9}{x}^{2}-2x+8}\\{y=\frac{4}{3}x-8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=24}\\{y=24}\end{array}\right.$，
∴點E的坐標為（24，24），
∵D（6，0），E（24，24），
∴DE=$\sqrt{（24-6）^{2}+（24-0）^{2}}$=30，
當點P在線段DB上，且∠PCB=∠AED時，如圖2，
∵BC∥AD，
∴∠CBP=∠EDA，
∴△CBP∽△EDA，
∴CB：BP=ED：DA，即12：BP=30：6，
解得BP=2.4，
∴DP=BD-BP=7.6=$\frac{38}{5}$；
當點P在點B的上方，且∠PCB=∠AED時，
如圖3，過點A作AF⊥BD于F，
由（1）知DF=3.6，則EF=DE-DF=26.4，AF=$\sqrt{A{D}^{2}-D{F}^{2}}$=4.8，
過點P作PM⊥BC，交BC的延長線與M，
∵∠M=∠DAB=90°，∠PBM=∠CBD=∠BDA，
∴△PBM∽△BDA，
∴PM：BM=BA：DA=4：3，
設PM=4k，BM=3k，則BP=5k，
∵∠PCB=∠AED，∠M=∠EFA，
∴△PCM∽△AEF，
∴PM：CM=AF：EF，即4k：（12+3k）=4.8：26.4，
解得k=$\frac{12}{19}$，
∴BP=5k=$\frac{60}{19}$，DP=DB+BP=$\frac{250}{19}$，
∴若∠PCB＜∠AED，t的取值范圍為$\frac{38}{5}$＜t＜$\frac{250}{19}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，同時涉及了一次函數(shù)解析式的求法，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點問題，相似三角形的判定與性質，勾股定理的應用等知識，具有一定的綜合性和難度，解題時要數(shù)形結合思想的應用．