Question

10．已知：如圖，⊙O的半徑為2，PA切⊙O于A，OP交⊙O于B，且PA=2$\sqrt{3}$，則陰影部分的面積S=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

Answer 1

分析 連接OA，由PA為圓O的切線，根據(jù)切線性質(zhì)得到OA與AP垂直，在直角三角形AOP中，由OA與AP的長，利用勾股定理求出OP的長，根據(jù)直角三角形中一直角邊等于斜邊的一半，得到此直角邊所對的角為30°，推出角O為60°，然后分別利用三角形的面積公式及扇形的面積公式求出直角三角形AOP的面積與扇形OAB的面積，兩者相減即可求出陰影部分的面積．

解答 解：連接OA，由PA切⊙O于A，得到OA⊥AP，
又PA=2$\sqrt{3}$，OA=2，△OAP為直角三角形，
根據(jù)勾股定理得：OP=4，
∴∠P=30°，∠O=60°，
S_陰影=S_△AOP-S_扇形OAB，
=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π，
故答案為：2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)及陰影部分面積的求法．陰影部分面積的求法是：規(guī)則圖形根據(jù)面積公式來求；不規(guī)則圖形采用“割補湊正法”，即將不規(guī)則的圖形通過割補拼湊成一個或幾個規(guī)則的圖形，從而求出陰影部分面積．遇到切線，往往連接圓心與切點，構造直角三角形來解題．