Question

3．如圖，將拋物線M₁：y=ax²+4x向右平移3個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線M₂，直線y=x與M₁的一個交點記為A，與M₂的一個交點記為B，點A的橫坐標是-3．
（1）求a的值及M₂的表達式；
（2）點C是線段AB上的一個動點，過點C作x軸的垂線，垂足為D，在CD的右側(cè)作正方形CDEF．
①當點C的橫坐標為2時，直線y=x+n恰好經(jīng)過正方形CDEF的頂點F，求此時n的值；
②在點C的運動過程中，若直線y=x+n與正方形CDEF始終沒有公共點，求n的取值范圍（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）將點A橫坐標代入y=x，即可得出點A縱坐標，從而得出點A的坐標，根據(jù)點A在拋物線M₁：y=ax²+4x上，代入即可得出a的值，將拋物線M₁化為頂點式，根據(jù)平移的原則即可得出拋物線M₂；
（2）①把點C橫坐標代入y=x，即可得出點C坐標，從而得出點F坐標，把點F代入y=x+n即可得出n的值；
②根據(jù)直線y=x+n與正方形CDEF始終沒有公共點，直接可得出n的取值范圍．

解答 解：（1）∵點A在直線y=x，且點A的橫坐標是-3，
∴A（-3，-3），
把A（-3，-3）代入y=ax²+4x，
解得a=1．
∴M₁：y=x²+4x，頂點為（-2，-4）．
∴M₂的頂點為（1，-1）．
∴M₂的表達式為y=x²-2x．

（2）①由題意，C（2，2），
∴F（4，2）．
∵直線y=x+n經(jīng)過點F，
∴2=4+n．
解得n=-2．

②由題意得：n的取值范圍是n＞3，n＜-6．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點：用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)以及函數(shù)圖象的平移，掌握上加下減，左加右減的法則是解題的關(guān)鍵．