Question

18．如圖，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圓，點(diǎn)D是$\widehat{AC}$上的一點(diǎn)，BD交AC于點(diǎn)E，若BC=4，AD=$\frac{4}{5}$，則AE的長(zhǎng)是1．

Answer 1

分析 根據(jù)圓周角定理得到∠D=90°，根據(jù)勾股定理求出BD、證明△ADE∽△BCE，得到BE=5AE，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．

解答 解：在等腰Rt△ABC中，BC=4，
∴AB是⊙O的直徑，AB=4$\sqrt{2}$，
∴∠D=90°，
∵AD=$\frac{4}{5}$，AB=4$\sqrt{2}$，
∴BD=$\frac{28}{5}$，
∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{1}{5}$，即BE=5AE，
在Rt△BCE中，CE²+BC²=BE²，即（4-AE）²+4²=（5AE）²，
解得，AE=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形的外接圓與外心、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．