Question

8．[問題提出]
在判定兩個三角形全等時，除根據一般三角形全等判定定理外，還有“HL”方法．類似的，我們對直角三角形相似的條件進行探索．
（1）[提出猜想]
除根據一般三角形相似判定的條件外，請你提出類似于“HL”的判定直角三角形相似的方法，并用文字描述為：斜邊和一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似．
（2）[初步思考]
其中，我們不妨將問題用符號語言表示為：如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}$，則△ABC∽△DEF，請給予證明．
（3）[深入研究]
若圖中的∠C=∠F＞90°，其他條件不變，兩個三角形是否相似？試利用以上探究的結論解決問題，若相似請證明，若不相似，請畫出反例．

Answer 1

分析 （1）借助“HL”直接得出結論；
（2）先構造出△A'C'B∽△ACB，進而判斷出Rt△A'C'B≌Rt△DFE即可得出結論；
（3）先構造出△AGC∽△DHF，借助（2）的結論即可得出結論．

解答 解：（1）斜邊和一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似，
故答案為：斜邊和一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似；
（2）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若 $\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}$，則△ABC∽△DEF．


理由：在BA上取一點A'使BA'=DE，過點A'作AC'∥AC交BC于C'，
∴∠A'C'B=∠C=90°=∠F，△A'C'B∽△ACB，
∴$\frac{A'B}{AB}=\frac{A'C'}{AC}$，
∵$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}$，
∴$\frac{A'B}{A'C'}=\frac{DE}{DF}$，
∵BA'=DE，
∴A'C'=DF
在Rt△A'C'B和Rt△DFE中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=A'B}\\{DF=A'C'}\end{array}\right.$，
∴Rt△A'C'B≌Rt△DFE（HL），
∵△A'C'B∽△ACB，
∴△DFE∽△ACB；
故答案為若 $\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}$；
（3）成立，如圖2，

過點A作AG⊥BC交BC的延長線于G，過點D作DH⊥EF交EF的延長線于H，
∴∠G=∠H=90°，
∵∠ACB=∠DFE，
∴∠ACG=∠DFH，
∴△AGC∽△DHF，
∴$\frac{AC}{DF}=\frac{AG}{DH}$，
∵$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AG}{DH}$，
用（2）的結論得，△ABC∽△DEF．

點評 此題是相似形綜合題，主要考查了類比的思想，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，解本題的關鍵是構造相似三角形，是一道中等難度的中考常考題．