Question

10．兩個一元二次方程：M：cx²+bx+a（c≠0）N：ax²+bx+c=0（a≠0），其中a≠c，以下列四個結論中（1）如果方程M有兩個不相等的實數(shù)根，那么方程N也有兩個不相等的實數(shù)根；（2）如果方程M有兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同；（3）如果5是方程M的一個根，那么$\frac{1}{5}$是方程N的一個根；（4）如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根必是x=1．其中正確的是（1）（2）（3）（填序號）

Answer 1

分析 （1）方程cx²+bx+a=0有兩個不等的實數(shù)根，則△=b²-4ac＞0，判斷方程ax²+bx+c=0也一定有兩個不等的實數(shù)根，只要證明方程的判別式的值大于0即可；
（2）根據(jù)方程M有兩根符號相同，得到兩根的積$\frac{c}{a}$＞0，于是得到a，c同號，由于對于方程N，a，c同號，推出$\frac{a}{c}$＞0，于是得到方程N的兩根符號也相同；故正確；
（3）由于5是方程M的一個根，得到25c+5b+a=0，于是得到$\frac{1}{25}$a+$\frac{1}{5}$b+c=0，推出$\frac{1}{5}$是方程N的一個根；故正確；
（4）當x=-1也是方程M和方程N有一個相同的根，故錯誤；

解答 解：（1）∵方程cx²+bx+a=0有兩個不等的實數(shù)根，則△=b²-4ac＞0，∴對于方程ax²+bx+c=0，△=b²-4ac＞0，即方程N有兩個不等的實數(shù)根；故正確；
（2）∵方程M有兩根符號相同，∴$\frac{c}{a}$＞0，∴a，c同號，∵對于方程N，∵a，c同號，∴$\frac{a}{c}$＞0，∴方程N的兩根符號也相同；故正確；
（3）∵5是方程M的一個根，∴25c+5b+a=0，∴$\frac{1}{25}$a+$\frac{1}{5}$b+c=0，∴$\frac{1}{5}$是方程N的一個根；故正確；
（4）當x=-1時分別代入方程M和方程N得：c-b+a=0和a-b+c=0，故錯誤；
故答案為：（1）（2）（3），

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．