Question

1．如圖一，Rt△EFG中，∠F=90°，∠EGF=30°，EG=2，菱形ABCD中，AC、BD交于O點，AB=6，∠BAD=60°，G、A、E、B點在同一條直線上，E點和A點重合，將△EFG沿AC方向以每秒2個單位的速度平移，運動時間記為t，當G點到達BD邊上時停止運動，
（1）填空：菱形ABCD的面積為18$\sqrt{3}$，t=2$\sqrt{3}$時，G點剛好落在BD邊上；
（2）將△EFG與△AOD的重疊部分面積記為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應自變量取值范圍；
（3）如圖2，當△EFG停止移動時，將△EFG繞點E順時針方向旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜360），直線FG與直線BC、直線AC分別交于M點、N點，當△CMN為直角三角形時，直接寫出MN的長度．

Answer 1

分析 （1）由題意知，菱形的對角線互相垂直，且每一條對角線平分一組對角，所以∠OAB=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
根據(jù)AB=6，分別計算OA、OB的長，求出對角線AC、BD的長，根據(jù)菱形面積=兩條對角線乘積一半可求出面積；再計算OE的長，則t=（AO+OE）÷2；
（2）當F在AD上時，如圖3，求出此時的t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；當G在AD上，E在AC上時，如圖4，求出此時的t=$\sqrt{3}$；
分四種情況進行討論：
①當0＜t≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，重疊部分的面積S為等邊△PEM的面積，如圖5，
②當$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜t≤$\sqrt{3}$時，重疊部分的面積S為四邊形MPEF的面積，如圖6，利用等邊三角形的面積減去△MNF的面積；
③當$\sqrt{3}$＜t≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$時，重疊部分的面積S為△EFG的面積，如圖7，
④當$\frac{3\sqrt{3}}{2}$＜t≤2$\sqrt{3}$時，重疊部分的面積S為△PGM的面積，如圖8，
（3）分四種情況：當α=60°、90°、240°、270°時，分別利用30°角的三角函數(shù)列式求出MN的長．

解答 解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠BAD=60°，
∴∠OAB=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
在Rt△AOB中，AB=6，
∴OB=3，
∴AO=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴AC=6$\sqrt{3}$，BD=6，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×6=18$\sqrt{3}$；
如圖2，在Rt△FGE中，EG=2，∠FGE=30°，
∴EF=1，F(xiàn)G=$\sqrt{3}$，
如圖1，∵∠EGF=∠OAB=30°，
∴FG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴FG⊥BD，
∴∠FGO=∠GOE=∠F=90°，
∴四邊形GOEF為矩形，
∴OE=FG=$\sqrt{3}$，
∴t=$\frac{AE}{2}$=$\frac{AO+OE}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$；
故答案為：18$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$；
（2）當F在AD上時，如圖3，
由題意得：AE=2t，
∵FG∥AC，
∴∠GFA=∠FAE=30°，
∴∠AFE=90°-30°=60°，
∵∠GEF=60°，
∴△PEF是等邊三角形，
∴∠EPF=60°，
∴∠AEP=60°-30°=30°，
∴∠AEF=∠AEP+∠GEF=30°+60°=90°，
∵EF=$\frac{1}{2}$EG=1，
tan∠FAE=$\frac{EF}{AE}$，
tan30°=$\frac{1}{AE}$，
AE=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$，
t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
當G在AD上，E在AC上時，如圖4，
∵EG∥DC，
∴△AGE∽△ADC，
∴$\frac{EG}{DC}=\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{2}{6}=\frac{AE}{6\sqrt{3}}$，
∴AE=2$\sqrt{3}$，
∴此時t=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
分四種情況：
①當0＜t≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，重疊部分的面積S為△PEM的面積，如圖5，
同理得：Rt△AEM，∠MAE=30°，△PME是等邊三角形，
tan∠MAE=$\frac{ME}{AE}$，
tan30°=$\frac{ME}{2t}$，
ME=2t$•\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，
∴S=S_△PEM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（$\frac{2\sqrt{3}}{3}t$）2=$\frac{\sqrt{3}}{3}{t}^{2}$；
②當$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜t≤$\sqrt{3}$時，重疊部分的面積S為四邊形MPEF的面積，如圖6，
延長EF交AD于N，
同理得：EN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，△NPE是等邊三角形，
∴FN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t-1，
∵∠PNE=60°，
在Rt△MNF中，tan60°=$\frac{FM}{FN}$，
FM=FN•tan60°=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t-1）×$\sqrt{3}$=2t-$\sqrt{3}$，
∴S=S_△NPE-S_△MNF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）2-$\frac{1}{2}$•FN•FM=$\frac{\sqrt{3}}{3}{t}^{2}$-$\frac{1}{2}$（2t-$\sqrt{3}$）（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t-1）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}{t}^{2}$+2t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
③當$\sqrt{3}$＜t≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$時，重疊部分的面積S為△EFG的面積，如圖7，
S=S_△EFG=$\frac{1}{2}$EF•FG=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
④當$\frac{3\sqrt{3}}{2}$＜t≤2$\sqrt{3}$時，重疊部分的面積S為△PGM的面積，如圖8，
∵AE=2t，
∴OE=2t-3$\sqrt{3}$，
∵FG∥AC，
∴∠AEG=∠G=30°，
tan30°=$\frac{OP}{OE}$，
OP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2t-3$\sqrt{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}t$-3，
∴PM=1-OP=1-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t+3=4-$\frac{2\sqrt{3}}{3}t$，
∵FM=OE=2t-3$\sqrt{3}$，
∴GM=$\sqrt{3}$-FM=$\sqrt{3}$-2t+3$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$-2t，
∵∠G=30°，∠GPM=∠OPE=60°，
∴∠PMG=90°，
∴S=S_△PGM=$\frac{1}{2}$PM•MG=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t）（4$\sqrt{3}$-2t）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}{t}^{2}$-8t+8$\sqrt{3}$；
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{3}{t}^{2}（0＜t≤\frac{\sqrt{3}}{2}）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{3}{t}^{2}+2t-\frac{\sqrt{3}}{2}（\frac{\sqrt{3}}{2}＜t≤\sqrt{3}）}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}（\sqrt{3}＜t≤\frac{3\sqrt{3}}{2}）}\\{\frac{2\sqrt{3}}{3}{t}^{2}-8t+8\sqrt{3}（\frac{3\sqrt{3}}{2}＜t≤2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$；
（3）①當α=60°時，如圖9，
∴∠FEN=90°-60°=30°，
∵∠EFN=90°，
∴∠ENF=60°，
∴∠MNC=∠ENF=60°，
∵∠ACB=30°，
∴∠NMC=90°，
∴△MNC是直角三角形，
∵EG∥OD，
∴△CEG∽△COD，
∴$\frac{EG}{OD}=\frac{CG}{CD}$，
∴$\frac{2}{3}=\frac{CG}{6}$，
∴CG=4，
Rt△GMC中，∠MGC=30°，
∴CM=$\frac{1}{2}$CG=2，
tan30°=$\frac{MN}{CM}$，
MN=CM•tan30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
②當α=90°時，如圖10，
此時，F(xiàn)與N重合，所以∠MNC=∠EFG=90°，
即△MNC是直角三角形，
NC=OC-OE-EF=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$-1=2$\sqrt{3}$-1，
tan30°=$\frac{MN}{NC}$，
MN=NC•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2$\sqrt{3}$-1）=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
③當α=240°時，如圖11，
此時，G和M重合，
EC=OC-OE=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
Rt△GEC中，cos30°=$\frac{CE}{CG}$，
CG=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
在Rt△NMC中，tan30°=$\frac{MN}{CG}$，
MN=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
④當α=270°時，如圖12，
此時F與N重合，
ON=OE-EF=$\sqrt{3}$-1，
∴CN=3$\sqrt{3}$-（$\sqrt{3}$-1）=2$\sqrt{3}$+1，
tan30°=$\frac{MN}{CN}$，
MN=CN•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2$\sqrt{3}$+1）=2+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題是幾何變換的綜合題，比較復雜，考查了菱形的性質(zhì)，30°的直角三角形的性質(zhì)等，在求重疊部分面積時，要先將特殊位置時的重疊時間依次求出，再分情況進行討論；對于旋轉(zhuǎn)所組成的直角三角形，要將所有情況一一畫出，并分情況求出MN的值．