Question

3．如圖，已知點A（2，3）和點B（0，2），點A在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，作射線AB，再將射線AB繞點A按逆時針方向旋轉45°，交反比例函數(shù)圖象于點C，則點C的坐標為（-1，-6）．

Answer 1

分析 解法1：將點A繞著點B順時針旋轉90°得到點D，連接AD，則△ABD是等腰直角三角形，進而得到點D在射線AC上，根據(jù)點A（2，3）和點B（0，2），可得D（1，0），再根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，最后解方程組即可得到點C的坐標；
解法2：先過A作AE⊥x軸于E，以AE為邊在AE的左側作正方形AEFG，交AB于P，根據(jù)直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+2，可得PF=$\frac{3}{2}$，將△AGP繞點A逆時針旋轉90°得△AEH，構造△ADP≌△ADH，再設DE=x，則DH=DP=x+$\frac{3}{2}$，F(xiàn)D=1+2-x=3-x，在Rt△PDF中，根據(jù)PF²+DF²=PD²，可得方程（$\frac{3}{2}$）²+（3-x）²=（x+$\frac{3}{2}$）²，進而得到D（1，0），即可得出直線AD的解析式為y=3x-3，最后解方程組即可得到D點坐標．

解答 解法1：如圖所示，將點A繞著點B順時針旋轉90°得到點D，連接AD，則△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°，
由題可得，∠BAC=45°，
∴點D在射線AC上，
由點A（2，3）和點B（0，2），可得D（1，0），
設AC的解析式為y=ax+b，
把A（2，3），D（1，0）代入，可得
$\left\{\begin{array}{l}{3=2a+b}\\{0=a+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=3x-3，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-3}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴C（-1，-6），
故答案為：（-1，-6）．

解法2：如圖所示，過A作AE⊥x軸于E，以AE為邊在AE的左側作正方形AEFG，交AB于P，
根據(jù)點A（2，3）和點B（0，2），可得直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+2，
由A（2，3），可得OF=1，
當x=-1時，y=-$\frac{1}{2}$+2=$\frac{3}{2}$，即P（-1，$\frac{3}{2}$），
∴PF=$\frac{3}{2}$，
將△AGP繞點A逆時針旋轉90°得△AEH，則△ADP≌△ADH，
∴PD=HD，PG=EH=$\frac{3}{2}$，
設DE=x，則DH=DP=x+$\frac{3}{2}$，F(xiàn)D=1+2-x=3-x，
Rt△PDF中，PF²+DF²=PD²，
即（$\frac{3}{2}$）²+（3-x）²=（x+$\frac{3}{2}$）²，
解得x=1，
∴OD=2-1=1，即D（1，0），
根據(jù)點A（2，3）和點D（1，0），可得直線AD的解析式為y=3x-3，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-3}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴C（-1，-6），
故答案為：（-1，-6）．

點評 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象交點問題，旋轉的性質以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征的運用，解決問題的關鍵是利用45°角，作輔助線構造等腰直角三角形或正方形，依據(jù)旋轉的性質或勾股定理列方程進行求解．