Question

18．如圖，已知AB⊥AC于點A，DC⊥AC于點C，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，BE的延長線交DC的延長線于點F．求證：AB=CF．

Answer 1

分析 先證出AB∥DC，得出∠ABE=∠F，再證出∠F=∠DBF，得出DB=DF，由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出BE=FE，由ASA證明△ABE≌△FCE，得出對應邊相等即可．

解答 證明：∵AB⊥AC于點A，DC⊥AC于點C，
∴AB∥DC，
∴∠ABE=∠F，
∵BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠ABE，
∴∠F=∠DBF，
∴DB=DF，
∵DE平分∠BDC，
∴BE=FE（三線合一），
在△ABE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠F}&{\;}\\{BE=FE}&{\;}\\{∠AEB=∠CEF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB=CF．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．