Question

3．已知點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB=OC．
（1）如圖①，若點(diǎn)O在BC上，求證：∠ABO=∠ACO；
（2）如圖②，若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，求證：∠ABO=∠ACO．

Answer 1

分析 （1）先利用斜邊直角邊定理證明△OEB和△OFC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠B=∠C，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)和等式的性質(zhì)即可得到；
（2）過(guò)O作OE⊥AB，OF⊥AC，與（1）的證明思路基本相同．

解答 證明：（1）過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F(xiàn)分別是垂足，如圖①

∵點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，
∴OE=OF，
又∵OB=OC，
在Rt△OEB與Rt△OFC中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠B=∠C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），
∴∠ABO=∠ACO；
（2）過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F(xiàn)分別是垂足，如圖②

由題意知，OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
∵OE=OF，OB=OC，
在Rt△OEB與Rt△OFC中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠OBE=∠OCF，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠B-∠OBC=∠C-∠OCB，
即∠ABO=∠ACO．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)作出輔助線是解題的關(guān)鍵．