Question

20．如圖，在平行四邊形ABCD中，以對(duì)角線AC為直徑的⊙O分別交BC，CD于M，N．若AB=13，BC=14，CM=9，則MN的長(zhǎng)度為$\frac{180}{13}$．

Answer 1

分析 連結(jié)AM，AN，根據(jù)圓周角定理可知△ABM是直角三角形，利用勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)；易證△AMN∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出MN的長(zhǎng)．

解答 解：連結(jié)AM，AN，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠AMC=90°，∠ANC=90°，
∵AB=13，BM=5，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=12，
∵CM=9，
∴AC=15，
∵∠MCA=∠MNA，∠MCA=∠CAD，
∴∠MNA=∠CAD，
∵∠AMN=∠ACN，
∴∠AMN=∠ACN，
∵△NMA∽△ACD，
∴AM：MN=CD：AC，
∴12：MN=13：15，
∴MN=$\frac{180}{13}$．
故答案為：$\frac{180}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理運(yùn)用、勾股定理的運(yùn)用、相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造相似三角形．