Question

8．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．動點M、N分別在兩腰AB、AC上（M不與A、B重合，N不與A、C重合），且MN∥BC．將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點A的對應(yīng)點為P．
（1）當MN為何值時，點P恰好落在BC上？
（2）當MN=x，△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積為y，試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式．當x為何值時，y的值最大，最大值是多少？
（3）是否存在x，使y等于S_△ABC的四分之一？如果存在，請直接寫出x的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先連接AP，交MN于O，由MN∥BC．將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點A的對應(yīng)點為P，即可得△AMN∽△ABC，$\frac{MN}{BC}=\frac{AO}{AP}=\frac{1}{2}$，則可求得當MN為何值時，點P恰好落在BC上；
（2）此題需要分為當AO≤$\frac{1}{2}$AD時與當AO＞$\frac{1}{2}$AD時去分析，首先由△AMN∽△ABC，求得各線段的長，然后求△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積，即可得關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法，即可求得答案；
（3）由（2）所得函數(shù)關(guān)系列方程求解即可．

解答 解：（1）連接AP，交MN于O，
∵將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點A的對應(yīng)點為P，
∴OA=OP，AP⊥MN，AN=PN，AM=PM，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，AO⊥MN，
∴$\frac{MN}{BC}=\frac{AO}{AP}=\frac{1}{2}$，
∵BC=6，
∴MN=3，
∴當MN=3時，點P恰好落在BC上；
（2）過點A作AD⊥BC于D，交MN于O
∵MN∥BC，
∴AO⊥MN，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{MN}{BC}=\frac{AO}{AD}$，
∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，BD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AD=4，
∴$\frac{x}{6}=\frac{AO}{4}$，
∴AO=$\frac{2}{3}$x，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$MN•AO=$\frac{1}{2}$•x•$\frac{2}{3}$x=$\frac{1}{3}$x²，
當AO≤$\frac{1}{2}$AD時，
根據(jù)題意得：S_△PMN=S_△AMN，
∴△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積為S_△AMN，
∴y=$\frac{1}{3}$x²，
∴當AO=$\frac{1}{2}$AD時，即MN=$\frac{1}{2}$BC=3時，y最大，最大值為3；
當AO＞$\frac{1}{2}$AD時，
連接AP交MN于O，
則AO⊥MN，
∵MN∥BC，
∴AP⊥BC，△AMN∽△ABC，△PEF∽△PMN∽△AMN，
∴$\frac{AO}{AD}=\frac{MN}{BC}$，$\frac{EF}{MN}=\frac{PD}{PO}$，即：$\frac{AO}{4}=\frac{x}{6}$，$\frac{EF}{x}=\frac{PD}{AO}$，
∴AO=$\frac{2}{3}$x，
∴$\frac{EF}{x}=\frac{2AO-AD}{AO}$，
∴EF=2x-6，OD=AD-AO=4-$\frac{2}{3}$x，
∴y=S_梯形MNFE=$\frac{1}{2}$（EF+MN）•OD=$\frac{1}{2}$×（2x-6+x）×（4-$\frac{2}{3}$x）=-（x-4）²+4，
∴當x=4時，y有最大值，最大值為4，
綜上所述：當x=4時，y的值最大，最大值是4．
（3）由（2）知，當AO≤$\frac{1}{2}$AD時，
∴y=$\frac{1}{3}$x²；當AO＞$\frac{1}{2}$AD時，y=-（x-4）²+4，
又∵S△ABC=$\frac{1}{2}$×6×4=12，
∵y等于S_△ABC的四分之一，
∴$\frac{1}{3}$x²=12×$\frac{1}{4}$或-（x-4）²+4=12×$\frac{1}{4}$，
解得：x=3或x=5，
所以，存在x，使y等于S_△ABC的四分之一，x=3或x=5．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題等知識．解題的關(guān)鍵是方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．