Question

11．在△ABC中，⊙O經(jīng)過(guò)A、D 兩點(diǎn)交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接DE、DF．
（1）如圖1，若AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，求證：DE=DF；
（2）如圖2，連接EF，若∠BAC=60°，∠AEF=2∠BAD，求證：∠AFE=2∠CAD；
（3）如圖3，∠ACB=∠AEF+∠DAF，EF∥BC，若AF=2，AE=3，⊙O的半徑為$\frac{\sqrt{21}}{3}$，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）欲證明DE=DF只要證明$\widehat{DE}$=$\widehat{DF}$，只要證明∠BAD=∠CAD即可．
（2）由∠AFE=180°-∠AEF-∠BAC=120°-∠AEF=120°-2∠BAD=2（60°-∠BAD）=2∠CAD，即可證明．
（3）如圖3中，連接AF，作AH⊥AF于H，作直徑AM，連接MF．首先證明DF=DC，AE=AD，由△AFM∽△AHD，得$\frac{AM}{AD}$=$\frac{AF}{AH}$，推出AH=$\frac{3}{7}$$\sqrt{21}$，在Rt△ADH中，求出DH，在Rt△AFH中，求出FH，即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵AB=AC，BD=DC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{DF}$，
∴DE=DF．

（2）證明：如圖2中，

∵∠AFE=180°-∠AEF-∠BAC=120°-∠AEF=120°-2∠BAD=2（60°-∠BAD）=2∠CAD，
∴∠AFE=2∠CAD．

（3）解：如圖3中，連接AF，作AH⊥AF于H，作直徑AM，連接MF．

∵∠DFC=∠DAF+∠ADF=∠DAF+∠AEF=∠AEF+∠DEF，
∵∠ACB=∠AEF+∠DAF
∴∠ACB=∠DFC=∠AED，
∴DF=DC，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠C=∠ADE，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD=3，
∵∠AMF=∠ADH，∠AFM=∠AHD=90°，
∴△AFM∽△AHD，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{AF}{AH}$，
∴AH=$\frac{3}{7}$$\sqrt{21}$，
在Rt△ADH中，DH=$\sqrt{A{D}^{2}-A{H}^{2}}$=$\frac{6}{7}$$\sqrt{7}$，
在Rt△AFH中，F(xiàn)H=$\sqrt{A{F}^{2}-A{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴CD=DF=DH-FH=$\frac{5}{7}$$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．