Question

7．如圖①，∠M0N=60°，OQ平分∠MON，點A、B在OQ上，OB=AB，AC⊥ON于點C，P是OM上一動點．

（1）在圖②中，若AP∥ON，試說明PB⊥OA．
（2）點P在OM上運動時，若AP與ON不平行，還有使△OPA為等腰三角形的情況嗎？如果有，求出此時∠PAO的度數(shù)．
（3）在圖①中隨著點P的運動，PB+PA是否存在最小值？如果不存在，直接下結(jié)論；如果存在，畫出圖形，簡要寫出畫法．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義得到∠MOQ=∠NOQ，由平行線的性質(zhì)得到∠NOQ=∠PAO，等量代換得到∠PAO=∠MOQ=∠POA，遇得到△PAO是等腰三角形，推出PB是等腰三角形底邊AO上的中垂線，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)∠NOQ=∠PAO=$\frac{1}{2}$∠MON=$\frac{1}{2}$×60°=30°，當(dāng)∠PAO=∠OPA=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°時，得到△PAO是等腰三角形，當(dāng)∠POA=∠OPA=30°時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PAO=180°-30°-30°=120°，于是得到結(jié)論；
（3）存在點P使得PB+PA有最小值，根據(jù)兩點之間線段最短作出圖形即可．

解答 證明：（1）∵OQ是∠MON的平分線，
∴∠MOQ=∠NOQ，
∵AP∥ON，
∴∠NOQ=∠PAO，
∴∠PAO=∠MOQ=∠POA，
∴△PAO是等腰三角形，
∵BO=AB，
∴PB是等腰三角形底邊AO上的中垂線，
∴PB⊥OA；

（2）∵∠NOQ=∠PAO=$\frac{1}{2}$∠MON=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
當(dāng)∠PAO=∠OPA=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°時，
∴△PAO是等腰三角形，
當(dāng)∠POA=∠OPA=30°時，
∵△PAO是等腰三角形，
∴∠PAO=180°-30°-30°=120°，
∴存在點P，使得PA不平行NO，并且使得△PAO是等腰三角形，
即；∠PAO=75°或120°；

（3）存在點P使得PB+PA有最小值，
畫法：作點A關(guān)于OM的對稱點A′，
連接A'B交OM于點P，
則點P即為所求點，使得PB+PA有最小值是A'B．

點評 本題考查了角平分線的性質(zhì)，軸對稱-最短距離問題，等腰三角形的判定，線段的垂直平分線，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．