Question

1．已知：在Rt△OAB中，∠OAB=90°，若以D為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖的平面直角坐標系，點B在第一象限內(nèi)，將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處，點C（3，4）．
（1）求經(jīng)過點O，C，A三點的拋物線解析式．
（2）若點M是拋物線上一點，且位于線段OC的上方，求點M到OC的最大距離．
（3）拋物線上是否存在一點P，使∠OAP=∠BOA？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點C作CD⊥x軸于點D，利用勾股定理可得CO=5，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AO=5，再利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式；
（2）首先確定OC的解析式，進而確定平行于OC的直線解析式，然后聯(lián)立解析式，得出關于m的方程，利用判別式為0求出m的值，再利用∠OCD的正弦求解，可得結(jié)論；
（3）分當P在x軸上方，當P在x軸下方兩種情況討論可得點P的坐標．

解答 解：（1）如圖所示：過點C作CD⊥x軸于點D，
∵C（3，4），
∴DO=3，DC=4，
∴CO=5，
∵將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處，
∴AO=5，
設拋物線解析式為：y=ax²+bx+c，
則$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{9a+3b+c=4}\\{25a+5b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{10}{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
故拋物線解析式為：y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{10}{3}$x；

（2）∵C（3，4），
∴直線OC的解析式為y=$\frac{4}{3}$x，
設點M到OC的最大距離時，平行于OC的直線解析式為y=$\frac{4}{3}$x+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+m}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{10}{3}x}\end{array}\right.$，
消掉未知數(shù)y并整理得2x²-6x+3m=0，
△=（-6）²-24m=0，
解得：m=$\frac{3}{2}$．
設點M到OC的最大距離為x，
∵∠NOM=∠OCD，
∴sin∠OCD=sin∠NOM=$\frac{3}{5}$，
則$\frac{x}{\frac{3}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
解得x=$\frac{9}{10}$；

（3）AC的中點坐標為（4，2），
則直線OB解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{10}{3}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{17}{4}}\\{{y}_{2}=\frac{17}{8}}\end{array}\right.$，
當P在x軸上方，點P的坐標為（$\frac{3}{4}$，$\frac{17}{8}$）；
當P在x軸上方，
B的坐標為（5，$\frac{5}{2}$），
AP的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{10}{3}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=5}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{3}{4}}\\{{y}_{2}=-\frac{23}{8}}\end{array}\right.$，
點P的坐標為（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{23}{8}$）．
綜上所述，存在一點P（$\frac{3}{4}$，$\frac{17}{8}$）或（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{23}{8}$），使∠OAP=∠BOA．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，涉及了圖形的翻折變換，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，直線與拋物線的交點的求法等知識，具有一定的綜合性與難度，解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．