Question

17．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在對(duì)角線BD上（不與點(diǎn)B，D重合），GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，連結(jié)AG．
（1）寫(xiě)出線段AG，GE，GF長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠AGF=105°，求線段BG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：AG²=GE²+GF²．只要證明GA=GC，四邊形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可證明；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BG，在Rt△ABH、Rt△AHG中，求出AH、HG即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）結(jié)論：AG²=GE²+GF²．
理由：連接CG．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴A、C關(guān)于對(duì)角線BD對(duì)稱，
∵點(diǎn)G在BD上，
∴GA=GC，
∵GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，
∴四邊形EGFC是矩形，
∴CF=GE，
在Rt△GFC中，∵CG²=GF²+CF²，
∴AG²=GF²+GE²．

（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠GBF=45°，
∵GF⊥BC，
∴∠BGF=45°，
∵∠AGF=105°，
∴∠AGB=∠AGF-∠BGF=105°-45°=60°，
在Rt△ABH中，∵AB=1，
∴AH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△AGH中，∵AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∠GAH=30°，
∴HG=AH•tan30°=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴BG=BH+HG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理直角三角形30度的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．