Question

10．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，延長BC到E，使CE=CD．
（1）用尺規(guī)作圖的方法，過點(diǎn)D作DM⊥BE，垂足為M（不寫作法，只保留作圖痕跡）；
（2）若AB=2，求EM的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂線的尺規(guī)作圖方法，過點(diǎn)D作DM⊥BE，垂足為M；
（2）先根據(jù)等邊三角形以及等腰三角形的性質(zhì)，求得BE=3，再根據(jù)等腰三角形三線合一，即可得出BE的長．

解答 （1）如圖所示，DM即為所求；

（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC=AB=2，∠ABC=∠ACB=60°，
∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2=1，∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°．
∵CD=CE=1，
∴∠CDE=∠E，BE=3，
∵∠E+∠CDE=∠ACB=60°，
∴∠CDE=∠E=30°．
∴DB=DE．
∵DM⊥BE，
∴ME=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及基本作圖，解題時注意：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°，等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．