Question

14．如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，點M是$\widehat{CBD}$上任意一點，AH=2，CH=4．
（1）求⊙O的半徑r的長度；
（2）求sin∠CMD；
（3）直線BM交直線CD于點E，直線MH交⊙O于點N，連接BN交CE于點F，求HE•HF的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△COH中，利用勾股定理即可解決問題；
（2）只要證明∠CMD=△COA，求出sin∠COA即可；
（3）由△EHM∽△NHF，推出$\frac{HE}{HN}$=$\frac{HM}{HF}$，推出HE•HF=HM•HN，又HM•HN=AH•HB，推出HE•HF=AH•HB，由此即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，連接OC．
∵AB⊥CD，
∴∠CHO=90°，
在Rt△COH中，∵OC=r，OH=r-2，CH=4，
∴r²=4²+（r-2）²，
∴r=5．

（2）如圖1中，連接OD．
∵AB⊥CD，AB是直徑，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{CD}$，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠COD，
∵∠CMD=$\frac{1}{2}$∠COD，
∴∠CMD=∠COA，
∴sin∠CMD=sin∠COA=$\frac{CH}{CO}$=$\frac{4}{5}$．

（3）如圖2中，連接AM．
∵AB是直徑，
∴∠AMB=90°，
∴∠MAB+∠ABM=90°，
∵∠E+∠ABM=90°，
∴∠E=∠MAB，
∴∠MAB=∠MNB=∠E，
∵∠EHM=∠NHF
∴△EHM∽△NHF，
∴$\frac{HE}{HN}$=$\frac{HM}{HF}$，
∴HE•HF=HM•HN，
∵HM•HN=AH•HB，
∴HE•HF=AH•HB=2•（10-2）=16．

點評 本題考查圓綜合題、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定和性質、相交弦定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．