Question

4．已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{2x}$和一次函數(shù)y=kx-1交于A、B兩點，其中A點坐標(biāo)為（1，b）．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）已知點B的橫坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$，求△AOB的面積；
（3）在x軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點坐標(biāo)都求出來；如不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)題意得出$\frac{k}{2}$=b，k-1=b，進而求得b=1，k=2，從而求得一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)△AOB的面積=S_△AOC+S_△BOC求解；
（3）分兩種情況考慮：①當(dāng)OA是底邊時，則OA的垂直平分線和x軸的交點；②當(dāng)OA是腰時，則分別以O(shè)、A為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧，和x軸的交點（點O除外）．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{2x}$和一次函數(shù)y=kx-1過A（1，b），
∴$\frac{k}{2}$=b，k-1=b，
∴b=1，k=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{x}$，一次函數(shù)的解析式為y=2x-1；
（2）∵點B的橫坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$，
∴點B的縱坐標(biāo)為-2，
由一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=2x-1，得直線AB與x軸的交點是C（$\frac{1}{2}$，0），
△AOB的面積=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×2=$\frac{3}{4}$．
（3）∵A（1，1），
∴OA=$\sqrt{2}$，
①若OA=OP，
則OP=$\sqrt{2}$，
∴點P的坐標(biāo)為：（$\sqrt{2}$，0）或（-$\sqrt{2}$，0）；
②若AO=AP，
過A作AD⊥x軸于D，
∴OD=1，
∴OP=2OD=2，
∴點P的坐標(biāo)為（2，0）；
③若OP=AP，
則P是OA的垂直平分線與x軸的交點，
則點P為（1，0）．
∴點P的坐標(biāo)是（1，0）或（$\sqrt{2}$，0）或（-$\sqrt{2}$，0）或（2，0）．

點評 此題綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法、三角形的面積的計算方法以及等腰三角形的判定和性質(zhì)．