Question

16．在正方形ABCD上方作等腰直角△ABE，M為CD邊上一點，N為MB中點，點F在線段AE上（點F與點A不重合）．
（1）如圖1，若點M、C重合，F(xiàn)為AE中點，AB=2，求S_△EFN；
（2）如圖2，若點M、C不重合，DN=NF，延長DN、AB交于點G，連接FD、FG，求證：FN⊥DG；
（3）在（2）的條件下，若$\frac{AF}{FE}$=$\frac{1}{3}$，請直接寫出$\frac{BM}{MC}$的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作FG⊥BE于G，求出FG，根據(jù)S_△EFN=$\frac{1}{2}$•EN•FG計算即可．
（2）如圖2中，作FH⊥AB于H，F(xiàn)K⊥DA于K，先證明△BNG≌△MND，推出DN=NG=FN，再證明△DKF≌△GHF，即可解決問題．
（3）如圖2中，由（2）可知，四邊形AKFH是正方形，由FH∥EB，推出$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AH}{HB}$=$\frac{1}{3}$，設(shè)AH=a，則HB=3a，求出BM、MC即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作FG⊥BE于G，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=∠ABE=90°，
∵∠FGE=∠ABE=90°，
∴FG∥AB，
∵AF=EF，
∴EG=GB，
∴FG=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵AB=BE=2，BN=CN=1，
∴EN=3，
∴S_△EFN=$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$．

（2）如圖2中，作FH⊥AB于H，F(xiàn)K⊥DA于K．

∵BG∥DM，
∴∠NBG=∠NMD，
在△NBG和△NMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NBG=∠NMD}\\{BN=NM}\\{∠BNG=∠MND}\end{array}\right.$，
∴△BNG≌△MND，
∴DN=NG，
∵FN=DN，
∴FN=DN=NG，
∴∠DFG=90°，
∴∠DAG=∠DFG=90°，
∴∠ADF=∠FGA，
∵∠FAH=∠FAK=45°，F(xiàn)H⊥AB，F(xiàn)K⊥AK，
∴FH=FK，
在△DKF和△GHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DKF=∠GHF}\\{∠KDF=∠FGH}\\{KF=FH}\end{array}\right.$，
∴△DKF≌△GHF．
∴DF=FG，
∵DN=NG，
∴FN⊥DG．
 
（3）如圖2中，由（2）可知，四邊形AKFH是正方形，
∴AH=KF，
∵FH∥EB，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AH}{HB}$=$\frac{1}{3}$，設(shè)AH=a，則HB=3a．
∴AB=4a，DK=HG=5a，
∴BG=DM=2a，
∴DM=CM=2a，
∴BM=$\sqrt{C{M}^{2}+C{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，
∴$\frac{BM}{MC}$=$\frac{2\sqrt{5}a}{2a}$=$\sqrt{5}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．