Question

5．在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB延長線上一點，E是AC上一點，DE交BC于點F．
（1）如圖1，若BD=CE，求證：DF=EF；
（2）如圖2，若BD=$\frac{1}{n}$CE，試寫出DF和EF之間的數量關系，并證明．

Answer 1

分析 （1）作EG∥AB交BC于G，就可以得出∠EGC=∠ABC，∠DBF=∠EGF，∠D=∠GEF，就可以得出△DBF≌△EGF，就可以得出結論；
（2）圖（2）過E作EG∥AB交BC于G，根據平行線的性質得到∠EGC=∠ABC，由等腰三角形的性質得到∠ABC=∠C，等量代換得到∠EGC=∠C，根據等腰三角形的判定得到EG=EC，通過△BDF∽△EFG，根據相似三角形的性質得到$\frac{BD}{EG}=\frac{DF}{EF}$，由于BD=$\frac{1}{n}$CE，即可得到$\frac{DF}{EF}=\frac{1}{n}$．

解答 證明（1）：如圖（1）作EG∥AB交BC于G，
則∠CGE=∠ABC，∠GEF=∠D，∠DBF=∠EGF．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠C=∠EGC，
∴CE=EG，
∵CE=BD，
∴BD=GE．
在△DBF和△EGF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠GEF}\\{BD=GE}\\{∠DBF=∠EGF}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△EGF（ASA），
∴DF=EF；

（2）$\frac{DF}{EF}=\frac{1}{n}$，
理由：圖（2）過E作EG∥AB交BC于G，
∴∠EGC=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠EGC=∠C，
∴EG=EC，
∵EG∥AB，
∴△BDF∽△EFG，
∴$\frac{BD}{EG}=\frac{DF}{EF}$，
∵BD=$\frac{1}{n}$CE，
∴BD=$\frac{1}{n}$EG，
∴$\frac{DF}{EF}=\frac{1}{n}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，平行線的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．