Question

13．閱讀與思考；

婆羅摩笈多是一位印度數學家與天文學家，書寫了兩部關于數學與天文的書籍，他的一些數學成就在世界數學史上有較高的地位，他的負數及加減法運算僅晚于中國九章算術而他的負數乘除法法則在全世界都是領先的，他還提出了著名的婆羅摩笈多定理，該定理的內容及證明如下： 已知：如圖，四邊形ABCD內接與圓O對角線AC⊥BD于點M，ME⊥BC于點E，延長EM交CD于F，求證：MF=DF 證明∵AC⊥BD，ME⊥BC ∴∠CBD=∠CME ∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF ∴∠CAD=∠AMF ∴AF=MF ∵∠AMD=90°，同時∠MAD+∠MDA=90° ∴∠FMD=∠FDM ∴MF=DF，即F是AD中點．

（1）請你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過程，完成婆羅摩笈多逆定理的證明：
已知：如圖1，四邊形ABCD內接與圓O，對角線AC⊥BD于點M，F是AD中點，連接FM并延長交BC于點E，求證：ME⊥BC
（2）已知如圖2，△ABC內接于圓O，∠B=30°∠ACB=45°，AB=2，點D在圓O上，∠BCD=60°，連接AD 交BC于點P，作ON⊥CD于點N，延長NP交AB于點M，求證PM⊥BA并求PN的長．

Answer 1

分析 （1）由于AC⊥BD，所以∠AMD=90°，∠FAM+∠FDM=90°，由于F是AD的中點，所以AF=MF=DF，從而可證明∠EMC+∠MCB=90°．
（2）由圓周角定理得出∠D=∠B=30°，由三角形內角和定理求出∠DAC=45°，得出△APC是等腰直角三角形，∴PA=PC，∠CPD=90°，由（1）的證明過程可知：PM⊥BA，再由含30°的直角三角形的性質即可求出AP=1，CD=2，最后利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出PN的長度．

解答 解：（1）∵AC⊥BD，
∴∠AMD=90°，
∵F是AD的中點，
∴AF=MF=DF，
∴∠FAM=∠FMA，
∠FMD=∠FDM，
∵∠FDM=∠MCB，∠FMA=∠EMC，
∠FAM+∠FDM=90°
∴∠EMC+∠MCB=90°，
∴ME⊥BC；

（2）∵∠ACB=45°，∠BCD=60°，
∴∠ACD=45°+60°=105°，
又∵∠D=∠B=30°，
∴∠DAC=180°-∠ACD-∠D=45°，
∴∠APC=180°-45°-45°=90°，△APC是等腰直角三角形，
∴PA=PC，∠APC=90°，
∴AD⊥BC，
∵ON⊥CD，
∴由垂徑定理可知：N是CD的中點，
∴由（1）的證明過程可知：PM⊥BA
∵AB=2，∠B=30°，
∴AP=1，
∴PC=1，
∵∠D=30°，
∴CD=2PC=2，
∵N是CD的中點，∠CPD=90°，
∴PN=$\frac{1}{2}$CD=1．

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及垂徑定理，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質，含30°的直角三角形的性質等知識，綜合程度較高，需要學生靈活運用知識．