Question

1．如圖①是一個含有30°角的直角三角板的圖片，其內(nèi)外兩個三角形△P′B′Q′與△PBQ的三邊分別平行，如圖②，現(xiàn)在任意畫一條直線MN與這兩個三角形的四條直角邊分別交于點A、A′、C、C′，銳角∠BCA等于α，C′E等于B′Q′與BQ之間的距離，A′D等于B′P′與BP之間的距離．
（1）求證：△DA′A∽△ECC′；
（2）在圖②中，如果A′D=C′E，求$\frac{AA′}{CC′}$等于多少．（結(jié)果用含α的三角函數(shù)的式子表示）此時AA′與CC′可能相等嗎？若能相等，求出相應的α值；若不能相等，說明理由；
（3）如圖③如果保持圖片中的△PBQ不動，將△P′B′Q′適當上下平移，使A′D=nC′E，則$\frac{AA′}{CC′}$等于$\frac{nsinα}{cosα}$．（用含α的三角函數(shù)的式子表示）

Answer 1

分析 （1）求出兩個角分別相等，根據(jù)相似三角形的判定定理推出即可；
（2）解直角三角形求出AA′、CC′的值，再代入求出即可；
（3）解直角三角形求出AA′、CC′的值，再代入求出即可．

解答 （1）證明：∵C′E等于B′Q′與BQ之間的距離，A′D等于B′P′與BP之間的距離，
∴AB∥C′E，∠ADA′=∠C′EC=90°，
∴∠DAA′=∠EC′C，
∴∠DA′A=∠ECC′=α，
∴△DA′A∽△ECC′；

（2）解：在Rt△ADA′和Rt△C′EC中，
AA′=$\frac{A′D}{cosα}$，CC′=$\frac{C′E}{sinα}$，
∵A′D=C′E，
∴$\frac{AA′}{CC′}$=$\frac{sinα}{cosα}$，
AA′與CC′能相等，
當相等時，sinα=cosα，
即α=45°；

（3）在Rt△ADA′和Rt△C′EC中，
AA′=$\frac{A′D}{cosα}$，CC′=$\frac{C′E}{sinα}$，
∵A′D=nC′E，
∴$\frac{AA′}{CC′}$=$\frac{nsinα}{cosα}$，
故答案為：$\frac{nsinα}{cosα}$．

點評 本題考查了幾何變換，相似三角形的判定，解直角三角形的應用，能通過解直角三角形求出AA′和CC′的長是解此題的關鍵，求解過程類似．