Question

3．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，若∠BAC=∠CAM，過點(diǎn)C作直線l垂直于射線AM，垂足為點(diǎn)D．
（1）試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若直線l與AB的延長線相交于點(diǎn)E，⊙O的半徑為3，并且∠CAB=30°．求圖中所示陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，如圖，由∠1=∠2，∠2=∠3得∠1=∠3，則可判斷OC∥AD，由于CD⊥AD，所以O(shè)C⊥CD，于是根據(jù)切線的判定定理可得CD為⊙O的切線；
（2）利用三角形外角性質(zhì)可得到∠EOC=60°，而OC⊥CD，則∠OCE=90°，在Rt△OCE中利用∠EOC的正切可計(jì)算出CE=3$\sqrt{3}$，然后三角形面積公式和扇形面積公式，利用S_陰影部分=S_△OOE-S_扇形COB進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）CD與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OC，如圖，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
而CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD為⊙O的切線；
（2）∵∠EOC=∠1+∠2，∠2=30°，
∴∠EOC=60°，
∵OC⊥CD，
∴∠OCE=90°，
在Rt△OCE中，∵tan∠EOC=$\frac{CE}{OC}$，
∴CE=3tan60°=3$\sqrt{3}$，
∴_{S陰影部分}=S_△OOE-S_扇形COB
=$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$-$\frac{60•π•{3}^{2}}{360}$
=$\frac{9\sqrt{3}-3π}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了扇形面積的計(jì)算．