Question

13．在△ABC中，BC=8，高AH為4，△DEF在△ABC內(nèi)，三個頂點D、E、F分別在BC、AB和AC上，且點D與點A在直線EF的異側(cè)，我們稱△DEF為△ABC的內(nèi)接三角形．
（1）如圖1，當(dāng)△DEF∽△ABC，且EF=3時，求△DEF的面積；
（2）如圖2，在△ABC的內(nèi)接△DEF中，DE=DF，∠EDF=90°，且EF∥BC，EF與AH交于G點，求△DEF的面積；
（3）如圖3，在△ABC的內(nèi)接三角形DEF中，DE=DF，且EF∥BC，EF與AH交于G點，求等腰△DEF面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求出△DEF的面積；
（2）作DP⊥EF于P，設(shè)EF=x，由EF∥BC，得到成比例線段，代入求出x的值，根據(jù)三角形的面積公式求出△DEF的面積；
（3）設(shè)EF=a，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用a表示出△DEF的高PD，列出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．

解答 解：（1）∵BC=8，高AH為4，
∴△ABC的面積為$\frac{1}{2}$×8×4=16，
∵△DEF∽△ABC，
∴$\frac{△DEF的面積}{△ABC的面積}$=（$\frac{EF}{BC}$）²，
∴△DEF的面積為：$\frac{9}{4}$；
（2）如圖2，作DP⊥EF于P，
∵DE=DF，∠EDF=90°，
∴PD=$\frac{1}{2}$EF，
由題意可知，四邊形PDHG為矩形，∴PD=GH，
設(shè)EF=x，則PD=GH=$\frac{1}{2}$x，
∵EF∥BC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AG}{AH}$，即$\frac{x}{8}$=$\frac{4-\frac{1}{2}x}{4}$，
解得，x=4，
∴△DEF的面積=$\frac{1}{2}$×EF×PD=4；
（3）如圖2，設(shè)EF=a，
∵EF∥BC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AG}{AH}$，即$\frac{a}{8}$=$\frac{4-GH}{4}$，
解得，GH=4-$\frac{1}{2}$a，
∵PD=GH，
∴△DEF面積=$\frac{1}{2}$×a×（4-$\frac{1}{2}$a）=-$\frac{1}{2}$（a-4）²+4，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴等腰△DEF面積的最大值為4．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，正確作出輔助線、靈活運用相關(guān)的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，注意相似三角形的面積比等于相似比的平方．