Question

8．【問題情境】如圖①，直角三角板ABC中，∠C=90°，AC=BC，將一個用足夠長的細(xì)鐵絲制作的直角的頂點D放在直角三角板ABC的斜邊AB上，再將該直角繞點D旋轉(zhuǎn)，并使其兩邊分別與三角板的AC邊、BC邊交于P、Q兩點．
【問題探究】
（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，
①如圖2，當(dāng)AD=BD時，線段DP、DQ的數(shù)量關(guān)系是（　�。�
A、DP＜DQ       B、DP=DQ      C、DP＞DQ      D、無法確定
②如圖3，當(dāng)AD=2BD時，線段DP、DQ有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
③根據(jù)你對①、②的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)AD=nBD時，DP、DQ滿足的數(shù)量關(guān)系為DP=nDQ（直接寫出結(jié)論，不必證明）
（2）當(dāng)AD=BD時，若AB=20，連接PQ，設(shè)△DPQ的面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①首先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出△ADP≌△CDQ（ASA），即可得出答案；
②首先得出△DPM∽△DQN，則$\frac{MD}{DN}$=$\frac{DP}{DQ}$，求出△AMD∽△BND，進(jìn)而得出答案；
③根據(jù)已知得出Rt△DNP∽Rt△DMQ，則$\frac{DN}{DM}$=$\frac{DP}{DQ}$=$\frac{AD}{AB}$，則AD=nBD，求出即可；
（2）當(dāng)DP⊥AC時，x最小，最小值是5$\sqrt{2}$，此時，S有最小值；當(dāng)點P與點A重合時，x最大，最大值為10，S有最大值分別求出即可．

解答 解：（1）①DP=DQ，
理由：如圖2，連接CD，
∵AC=BC，△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=CD，∠A=∠DCQ，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠PDC=∠CDQ+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠QCD}\\{AD=CD}\\{∠ADP=∠CDQ}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP=DQ；
②DP=2DQ，
理由：如圖3，過點D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分別為：M，N，
則∠DMP=∠DNQ=90°，
∴∠MDP=∠NDQ，
∴△DPM∽△DQN，
∴$\frac{MD}{DN}$=$\frac{DP}{DQ}$，
∵∠AMD=∠DNB=90°，∠A=∠B，
∴△AMD∽△BND，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DM}{DN}$，
∴$\frac{DP}{DQ}$=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{2BD}{BD}$=2，
∴DP=2DQ；

③如圖1，過D點作DM⊥CB于點M，作DN⊥AC于點N，
∵∠C=∠PDQ=90°，
∴∠ADP+∠QDB=90°，
可得：∠MDN=90°，
∴∠QDM=∠NDP，
又∵∠DNP=∠DMQ，
∴Rt△DNP∽Rt△DMQ，
∴$\frac{DN}{DM}$=$\frac{DP}{DQ}$，
∵由（1）知，ADN∽△BDM，
∴$\frac{DN}{DM}$=$\frac{DP}{DQ}$=$\frac{AD}{AB}$，
∵AD=nBD，
∴$\frac{DP}{DQ}$=$\frac{AN}{CN}$=$\frac{AD}{BD}$=n，
∴EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為：DP=nDQ；
故答案為：DP=nDQ；

（2）存在，設(shè)DQ=x，由（1）①知，DP=x，
∴S=$\frac{1}{2}$x•x=$\frac{1}{2}$x²，
∵AB=20，
∴AC=BC=10$\sqrt{2}$，AD=BD=10，
當(dāng)DP⊥AC時，x最小，最小值是5$\sqrt{2}$，此時，S有最小值，
S_最小=$\frac{1}{2}$×（5$\sqrt{2}$）²=25，
當(dāng)點P與點A重合時，x最大，最大值為10，
此時，S有最大值，S_最大=$\frac{1}{2}$×10²=50．

點評 此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)最值求出等知識，熟練利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．