Question

10．如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點P，過點B的直線交OP的延長線于點C，且CP=CB．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為$\sqrt{11}$，OP=1，求OC的長．

Answer 1

分析 （1）由垂直定義得∠A+∠APO=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由CP=CB得∠CBP=∠CPB，根據(jù)對頂角相等得∠CPB=∠APO，因此∠APO=∠CBP，而∠A=∠OBA，得出∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到BC是⊙O的切線；
（2）設(shè)BC=x，則PC=x，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得到（ $\sqrt{11}$）²+x²=（x+1）²，然后解方程求出PC，即可得出OC的長．

解答 （1）證明：連接OB，如圖所示：
∵OP⊥OA，
∴∠AOP=90°，
∴∠A+∠APO=90°，
∵CP=CB，
∴∠CBP=∠CPB，
而∠CPB=∠APO，
∴∠APO=∠CBP，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：設(shè)BC=x，則PC=x，
在Rt△OBC中，OB=$\sqrt{11}$，OC=CP+OP=x+1，
∵OB²+BC²=OC²，
∴（$\sqrt{11}$）²+x²=（x+1）²，
解得：x=5，
即BC的長為5，
∴CP=5，
∴OC=CP+OP=5+1=6．

點評 本題考查了切線的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握切線的判定，由勾股定理得出方程是解決（2）的關(guān)鍵．