Question

20．如圖，正比例函數(shù)y=-2x與反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象在第二象限交于點A（-1，m），將函數(shù)y=-2x的圖象向下平移3個單位長度與反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象分別交于B、C兩點，連結AB，AC．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點A（-1，m）在函數(shù)y=-2x的圖象上，可得點A（-1，2），代入反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$，可得k的值；
（2）通過解方程組可得點B（-2，1），C（$\frac{1}{2}$，-4），過點A作AD∥y軸交直線BC于點D（-1，-1），根據(jù)割補法即可得到△ABC的面積．

解答 解：（1）∵點A（-1，m）在函數(shù)y=-2x的圖象上，
∴m=-2×（-1）=2，
∴點A（-1，2），
代入反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$，可得k=-1×2=-2，
∴反比例函數(shù)的解析式為$y=-\frac{2}{x}$；

（2）由題意知，直線BC為y=-2x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}y=-2x-3\\ y=-\frac{2}{x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=-2\\{y_1}=1\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=\frac{1}{2}\\{y_2}=-4\end{array}\right.$，
∴點B（-2，1），C（$\frac{1}{2}$，-4），
如圖，過點A作AD∥y軸交直線BC于點D，
在y=-2x-3中，令x=-1，則y=-1，
即D（-1，-1），
∴${S_{△ABC}}={S_{△ABD}}+{S_{△ADC}}=\frac{1}{2}•AD•（{x_C}-{x_B}）$
$\begin{array}{l}=\frac{1}{2}•AD•（{x_C}-{x_B}）=\frac{1}{2}•（2+1）•（\frac{1}{2}+2）\\=\frac{15}{4}\end{array}$
故△ABC的面積為$\frac{15}{4}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題時注意：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關系式聯(lián)立成方程組求解，反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標滿足兩函數(shù)解析式．