Question

13．如圖，M、N分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，已知：∠MAN=30°，AM=AN，△AMN的面積為1．
（1）求∠BAM的度數(shù)；
（2）求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

分析 （1）只要證明△ABM≌△ADN（HL），推出∠BAM=∠DAN，由∠MAN=30°，∠BAD=90°，即可推出∠BAM=30°；
（2）作MH⊥AN于H．設(shè)BM=x，則AM=AN=2x，MH=x，根據(jù)$\frac{1}{2}$•AN•MH=1，列出方程即可；

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°，
∵AM=AN，
在Rt△ABM和Rt△ADN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADN（HL），
∴∠BAM=∠DAN，
∵∠MAN=30°，∠BAD=90°，
∴∠BAM=30°．

（2）作MH⊥AN于H．設(shè)BM=x，則AM=AN=2x，MH=x，
∵$\frac{1}{2}$•AN•MH=1，
∴$\frac{1}{2}$•2x•x=1，
解得x=1或-1（舍棄），
∴AB=$\sqrt{3}$BM=$\sqrt{3}$，
∴正方形ABCD的邊長為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的30度角的性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．