Question

3．在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，過點A分別作BD，CE的垂線，垂足分別為點M，N，連接MN．求證：MN=$\frac{1}{2}（AB+AC-BC）$．

Answer 1

分析 延長AM、AN交BC于F、G．根據(jù)ASA發(fā)現(xiàn)兩對全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到MN是三角形AFG的中位線，同時得到FG的長，根據(jù)三角形的中位線定理即可計算．

解答 解：延長AM、AN交BC于F、G．

∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，過點A分別作BD，CE的垂線，垂足分別為點M，N，
∴∠ABM=∠FBM，BM=BM，∠AMB=∠FMB，
在△AMB和△FMB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠FBM}\\{BM=BM}\\{∠AMB=∠FMB}\end{array}\right.$
∴△AMB≌△FBM，
∴AM=FM，BF=AB．
同理AN=NG，CG=AC．
∴MN=$\frac{1}{2}$FG=$\frac{1}{2}$（AB+AC-BC）．

點評 此題綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理，解此題的關(guān)鍵是求出AN=NG和AM=MF．