Question

12．如圖，△ADB、△BCD都是等邊三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD上兩個(gè)動點(diǎn)，滿足AE=DF．連接BF與DE相交于點(diǎn)G，CH⊥BF，垂足為H，連接CG．若DG=a，BG=b，且a、b滿足下列關(guān)系：a²+b²=5，ab=2，則GH=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都為60°的性質(zhì)，利用全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論延長FB到點(diǎn)M，使BM=DG，連接CM．構(gòu)建全等三角形△CDG≌△CBM，然后利用全等三角形的性質(zhì)來證明CG=DG+BG．

解答 證明：延長FB到點(diǎn)M，使BM=DG，連接CM
∵△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD，∠A=∠ABD=60°，
在△AED與△DFB中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠A=∠BDF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DFB（SAS），
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠CDG=∠ADC-∠ADE=120°-∠ADE，∠CBM=120°-∠DBF，
∴∠CBM=∠CDG，
∵△DBC是等邊三角形，
∴CD=CB，
在△CDG和△CBM中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠CDG=∠CBM}\\{DG=BM}\end{array}\right.$
∴△CDG≌△CBM，
∴∠DCG=∠BCM，CG=CM，
∴∠GCM=∠DCB=60°，
∴△CGM是等邊三角形，
∴CG=GM=BG+BM=BG+DG，
∵（a+b）²=a²+b²+2ab=9，
∴a+b=3，
∴CG=3，
∴GH=$\frac{1}{2}$CG=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)．本題充分利用了等邊三角形的三條邊相等和三個(gè)內(nèi)角都是60°的性質(zhì)．