Question

20．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，DE∥AB？
（2）求四邊形BQPC的面積s與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形BQPC的面積與Rt△ABC的面積比為13：15？若存在，求t的值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）若DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，試求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)DE∥AB，得到△AQP∽△ACB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求出t；
（2）根據(jù)四邊形BQPC的面積=△ABC的面積-△AQP的面積，列出關(guān)于x、y的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)（2）中的函數(shù)關(guān)系式和面積比，求出t；
（4）DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，作QH⊥BC于H，得到DH∥AC，用t表示出QH、EH，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理列出關(guān)系式求出t．

解答 解：（1）當(dāng)DE∥AB時(shí)，∠AQP=90°，
則△AQP∽△ACB，
$\frac{AQ}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，$\frac{t}{3}$=$\frac{3-t}{5}$，t=$\frac{9}{8}$；
（2）∠C=90°，AC=3，AB=5，根據(jù)勾股定理得，BC=4，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
作QF⊥BC于F，

則QF∥BC，
$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{QF}{BC}$，即$\frac{t}{5}$=$\frac{QF}{4}$，
QF=$\frac{4}{5}$t，
S_△AQP=$\frac{1}{2}$×（3-t）×$\frac{4}{5}$t=-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{6}{5}$t，
S=6-（-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{6}{5}$t）
=$\frac{2}{5}$t²-$\frac{6}{5}$t+6；
（3）（$\frac{2}{5}$t²-$\frac{6}{5}$t+6）：6=13：15，
整理得，t²-3t+2=0
解得：t₁=1，t₂=3（舍去）；
當(dāng)t=1時(shí)，四邊形BQPC的面積與Rt△ABC的面積比為13：15；
（4）如圖，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，作QH⊥BC于H，

∵DH∥AC，
∴$\frac{BQ}{BA}$=$\frac{QH}{AC}$=$\frac{BH}{BC}$，
$\frac{QH}{3}$=$\frac{5-t}{5}$，QH=$\frac{15-3t}{5}$，
$\frac{BH}{4}$=$\frac{5-t}{5}$，
BH=$\frac{20-4t}{5}$，HC=$\frac{4}{5}$t，
∵DE垂直平分PQ，
∴PC=CQ，
（$\frac{15-3t}{5}$）²+（$\frac{4}{5}$t）²=t²，
90t=225，
t=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意方程思想的正確運(yùn)用．