Question

6．如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的弦，過O點作OD⊥BC，交⊙O的切線CD于點D，交⊙O于點E，連接AC、AE，且AE與BC交于點F．
（1）連接BD，求證：BD是⊙O的切線；
（2）若AF：EF=2：1，求tan∠CAF的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OBD=∠OCD=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件得到AC∥DE，設OD與BC交于G，根據(jù)平行線飛線段成比例定理得到AC：EG=2：1，EG=$\frac{1}{2}$AC，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OG=$\frac{1}{2}$AC于是得到AC=OE，求得∠ABC=30°，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵OC=OB，OD⊥BC，
∴∠COD=∠BOD，
在△COD與△BOD中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠COD=∠BOD}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△BOD，
∴∠OBD=∠OCD=90°，
∴BD是⊙O的切線；
（2）解：∵AB為⊙O的直徑，AC⊥BC，
∵OD⊥CB，
∴AC∥DE，
設OD與BC交于G，
∵OE∥AC，AF：EF=2：1，
∴AC：EG=2：1，即EG=$\frac{1}{2}$AC，
∵OG∥AC，OA=OB，
∴OG=$\frac{1}{2}$AC，
∵OG+GE=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$AC=AC，
∴AC=OE，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ABC=30°，
∴∠CAB=60°，
∵$\widehat{CE}$=$\widehat{BE}$，
∴∠CAF=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=30°，
∴tan∠CAF=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，正確的識別圖形是解題的關鍵．