Question

17．如圖1，直線m∥n，點(diǎn)B、F在直線m上，點(diǎn)E、C在直線n上，連結(jié)FE并延長(zhǎng)至點(diǎn)A，連結(jié)BA和CA，使∠AEC=∠BAC．
（1）求證：∠BFA+∠BAC=180°；
（2）請(qǐng)?jiān)趫D1中找出與∠CAF相等的角，并加以證明；
（3）如圖2，連結(jié)BC交AF于點(diǎn)D，作∠CBF和∠CEF的角平分線交于點(diǎn)M，若∠ADC=α，請(qǐng)直接寫出∠M的度數(shù)（用含α的式子表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠AEC=∠AFM，再根據(jù)∠AEC=∠BAC，可得∠AFM=∠BAC，根據(jù)∠BFA+∠AFM=180°，可得結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，即可得到與∠CAF相等的角；
（3）過(guò)D作DF∥BF，過(guò)M作MG∥BF，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠CED=∠FDE，∠FBD=∠FDB，再根據(jù)∠CBF和∠CEF的角平分線交于點(diǎn)M，可得∠CEM+∠FBM=$\frac{1}{2}$（∠CED+∠FBD），進(jìn)而得到∠M的度數(shù)．

解答 解：（1）如圖1，∵直線m∥n，
∴∠AEC=∠AFM，
∵∠AEC=∠BAC，
∴∠AFM=∠BAC，
又∵∠BFA+∠AFM=180°，
∴∠BFA+∠BAC=180°；

（2）與∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG．
證明：∵∠AEC=∠BAC，∠ACE=∠NCA，
∴∠CAE=∠ANC=∠BNG，
∵m∥n，
∴∠ABF=∠ANC，
∴與∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG；

（3）如圖2，過(guò)D作DF∥BF，過(guò)M作MG∥BF，
∵BF∥CE，
∴DF∥BF∥CE，MG∥BF∥CE，
∴∠CED=∠FDE，∠FBD=∠FDB，
∴∠CED+∠FBD=∠EDB=180°-∠ADC=180°-α，
∵∠CBF和∠CEF的角平分線交于點(diǎn)M，
∴∠CEM+∠FBM=$\frac{1}{2}$（∠CED+∠FBD）=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∵M(jìn)G∥BF∥CE，
∴∠CEM=∠GME，∠FBM=∠GMB，
∴∠BME=∠GME+∠GMB=∠CEM+∠FBM=90°-$\frac{1}{2}$α．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．