Question

19．△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D為AB中點，P是AB上一點，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．
（1）求證：DE=DF且DE⊥DF；
（2）若P是AB延長線上一點，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，給予結(jié)論并畫圖證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠A=∠DCF=45°，再利用SAS證明△AED與△DCF全等，進而得出答案；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠DCE=∠DBF，再利用SAS證明△DCE與△DBF全等，進而得出答案．

解答 證明：（1）連接CD，如圖1：
∵△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D為AB中點，
∴CD=AD=DB，CD⊥AB，∠A=∠DCF=45°，
∵PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，∠C=90°，
∴PE=CF=AE，
在△AED與△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DCF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠CDF+∠EDC=90°，
∴DF⊥DE；
（2）連接CD，如圖2：
∵△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D為AB中點，
∴CD=AD=DB，CD⊥AB，∠ABC=∠DCB=45°，
∵PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，∠C=90°，
∴PF=CE=BF，
∵∠DCE=90°+45°=135°，∠DBF=180°-45°=135°，
∴∠DCE=∠DBF，
在△DCE與△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=DB}\\{∠DCE=∠DBF}\\{CE=BF}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△DBF（SAS），
∴DE=DF，∠CDE=∠BDF，
∵∠CDE+∠EDB=90°，
∴∠BDF+∠EDB=90°，
∴DF⊥DE．

點評 此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明△AED與△DCF全等．