Question

14．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠CBA=90°，點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4），一條拋物線經(jīng)過(guò)△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C，直線AB與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q．
（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）若在A、B兩點(diǎn)之間的拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，如圖2，連接AP，BP，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)求出△ABP的面積S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)△ABP的面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若△ABC沿射線BA方向平移，得到△DEF，如圖3，若使△AFQ為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出F的點(diǎn)坐標(biāo)（點(diǎn)O除外）

Answer 1

分析 （1）作BG⊥x軸于點(diǎn)G，證得△ABC∽△BGC后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等AC=10，從而確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；
（2）連接PG，設(shè)點(diǎn)P（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{5}{2}$m），利用S=S_△BPG+S_△APG-S_△ABG得到當(dāng)m=6時(shí)，△ABP的面積有最大值，S_最大=16，從而求得P（6，6）；
（3）首先得到直線L的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x，然后設(shè)F（n，-$\frac{1}{2}$n），分①點(diǎn)F為頂點(diǎn)、②點(diǎn)A為頂點(diǎn)、③點(diǎn)Q為頂點(diǎn)三種情況分別求得F點(diǎn)的坐標(biāo)即可；

解答 解：（1）如圖所示，作BG⊥x軸于點(diǎn)G，
∵B（2，4），
∴CG=2，BG=4，
∴BC=$\sqrt{O{G}^{2}+B{G}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠CBA=90°，
∴△ABC∽△BGC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CG}{BC}$；
即：$\frac{2\sqrt{5}}{AC}=\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
解得：AC=10，
∴A（10，0），
∴拋物線經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)C為原點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx，
將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{100a+10b=0}\\{4a+2b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{5}{2}$x=-$\frac{1}{4}$（x-5）²+$\frac{25}{4}$；

（2）如圖所示，連接PG，設(shè)點(diǎn)P（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{5}{2}$m），
則S=S_△BPG+S_△APG-S_△ABG
=$\frac{1}{2}$BG•|x_P-x_B|+$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{5}{2}$m）-$\frac{1}{2}$AG•BG
=$\frac{1}{2}$×4×（m-2）+$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{5}{2}$m）-$\frac{1}{2}$×4×8
=-m²+12m-20
=-（m-6）²+16，
∴當(dāng)m=6時(shí)，△ABP的面積有最大值，S_最大=16，
∴-$\frac{1}{4}$×6²+$\frac{5}{2}$×6=6，
∴P（6，6）；

（3）由（1）可知拋物線的對(duì)稱軸為x=5，
由A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)可求得直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+5，
將x=5代入，解得：y=$\frac{5}{2}$，
∴Q（5，$\frac{5}{2}$）
∴AQ=$\sqrt{（10-5）^{2}+（0-\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{5}$．
∵△ABC沿BA平移，得△DEF，
∴點(diǎn)F在過(guò)原點(diǎn)且平行于AB的直線上，
∴直線L的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x，
∴設(shè)F（n，-$\frac{1}{2}$n），
①若點(diǎn)F為等腰三角形的頂點(diǎn)，則QF=AF，
即（n-5）²+（-$\frac{1}{2}$n-$\frac{5}{2}$）²=（n-10）²+（0+$\frac{1}{2}$n）²，
解得：n=$\frac{11}{2}$，
∴F₁（$\frac{11}{2}$，-$\frac{11}{4}$）；
②若點(diǎn)A為等腰三角形的頂點(diǎn)，則AF=AQ．
∴$\sqrt{（n-10）^{2}+（-\frac{1}{2}n-0）^{2}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{5}$
整理得：n²-16n+55=0
解得：n=11或n=5
∴F₂（11，-$\frac{11}{2}$），F(xiàn)₃（5，-$\frac{5}{2}$）；
③若點(diǎn)Q為等腰三角形的頂點(diǎn)，則QF=QA．
∴$\sqrt{{（n-5）}^{2}+{（-\frac{1}{2}n-\frac{5}{2}）}^{2}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{5}$
整理得：n²-6n=0
解得：n=0（舍去）或n=6
∴F₄（6，-3）．
綜上所述，滿足題意的點(diǎn)F有4個(gè)，分別為：F₁（$\frac{11}{2}$，-$\frac{11}{4}$），F(xiàn)₂（11，-$\frac{11}{2}$），F(xiàn)₃（5，-$\frac{5}{2}$），F(xiàn)₄（6，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．