Question

14．問題原型：如圖①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a．將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連結(jié)CD．過點(diǎn)D作△BCD的BC邊上的高DE，
易證△ABC≌△BDE，從而得到△BCD的面積為$\frac{1}{2}{a^2}$．
初步探究：如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a．將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連結(jié)CD．用含a的代數(shù)式表示△BCD的面積，并說明理由．
簡單應(yīng)用：如圖③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a．將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連結(jié)CD．直接寫出△BCD的面積．（用含a的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 初步探究：如圖②，過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長線交于點(diǎn)E，由垂直的性質(zhì)就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論；
簡單運(yùn)用：如圖③，過點(diǎn)A作AF⊥BC與F，過點(diǎn)D作DE⊥BC的延長線于點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)可以得出BF=$\frac{1}{2}$BC，由條件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面積公式就可以得出結(jié)論．

解答 解：初步探究：△BCD的面積為$\frac{1}{2}{a^2}$．
理由：如圖②，過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長線交于點(diǎn)E．
∴∠BED=∠ACB=90°．
∵線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，
∴AB=BD，∠ABD=90°．
∴∠ABC+∠DBE=90°．
∵∠A+∠ABC=90°．
∴∠A=∠DBE．
在△ABC和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠BED}\\{∠A=∠DBE}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC=DE=a．
∵S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•DE
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}{a^2}$；
簡單應(yīng)用：如圖③，過點(diǎn)A作AF⊥BC與F，過點(diǎn)D作DE⊥BC的延長線于點(diǎn)E，
∴∠AFB=∠E=90°，BF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$a．
∴∠FAB+∠ABF=90°．
∵∠ABD=90°，
∴∠ABF+∠DBE=90°，
∴∠FAB=∠EBD．
∵線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)得到的，
∴AB=BD．
在△AFB和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠E}\\{∠FAB=∠EBD}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△BED（AAS），
∴BF=DE=$\frac{1}{2}$a．
∵S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•DE，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$a•a=$\frac{1}{4}$a²．
∴△BCD的面積為$\frac{1}{4}{a^2}$．

點(diǎn)評 本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．