Question

12．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O在邊AC上，⊙O與△ABC的邊BC，AB分別相切于C，D兩點(diǎn)，與邊AC交于E點(diǎn)，弦CF與AB平行，與DO的延長線交于M點(diǎn)．
（1）求證：點(diǎn)M是CF的中點(diǎn)；
（2）若E是$\widehat{DF}$的中點(diǎn)，BC=a，寫出求AE長的思路．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥AB于D．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OMF=∠ODB=90°．由垂徑定理即可得到結(jié)論；
（2）連接DC，DF．由M為CF的中點(diǎn)，E為$\widehat{DF}$的中點(diǎn)，可以證明△DCF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠1=30°；根據(jù)切線的性質(zhì)得到BC=BD=a．推出△BCD為等邊三角形；解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D，
∴OD⊥AB于D．
∴∠ODB=90°．
∵CF∥AB，
∴∠OMF=∠ODB=90°．
∴OM⊥CF．
∴點(diǎn)M是CF的中點(diǎn)；
（2）思路：
連接DC，DF．
①由M為CF的中點(diǎn)，E為$\widehat{DF}$的中點(diǎn)，
可以證明△DCF是等邊三角形，且∠1=30°；
②由BA，BC是⊙O的切線，可證BC=BD=a．
由∠2=60°，從而△BCD為等邊三角形；
③在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=BD=a，可以求得AD=a，CO=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$，OA=$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$；
④AE=AO-OE=$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$-$\frac{\sqrt{3}a}{3}$=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$．
解：連接DC，DF，
由（1）證得M為CF的中點(diǎn)，DM⊥CF，
∴DC=DF，
∵E是$\widehat{DF}$的中點(diǎn)，
∴CE垂直平分DF，
∴CD=CF，
∴△DCF是等邊三角形，
∴∠1=30°，
∵BC，AB分別是⊙O的切線，
∴BC=BD=a，∠ACB=90°，
∴∠2=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，AO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴AE=AO-OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．