Question

6．已知拋物線(xiàn)y=-x²-2x+3交x軸于點(diǎn)A、C（點(diǎn)A在點(diǎn)C左側(cè)），交y軸于點(diǎn)B．
（Ⅰ）求A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）如圖1，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段BD上，且BE=2DE，連接CE并延長(zhǎng)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，求點(diǎn)M坐標(biāo)；
（Ⅲ）如圖2，將直線(xiàn)AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)15°后交y軸于點(diǎn)G，連接CG，點(diǎn)P為△ACG內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PC、PG，分別以AP、AG為邊，在它們的左側(cè)作等邊△APR和等邊△AGQ，求PA+PC+PG的最小值，并求當(dāng)PA+PC+PG取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）拋物線(xiàn)y=-x²-2x+3中，令y=-x²-2x+3=0，可得A（-3，0），C（1，0）；當(dāng)x=0時(shí)，可得B（0，3）；
（Ⅱ）首先利用A、C坐標(biāo)，求出D的坐標(biāo)，根據(jù)BE=2ED，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，求出直線(xiàn)CE，利用方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)M即可；
（Ⅲ）先證明△QAR≌△GAP即可得出QR=PG，進(jìn)而得到PA+PC+PG=PR+PC+QR，可得當(dāng)Q，R，P，C共線(xiàn)時(shí)，PA+PC+PG的值最小，即為線(xiàn)段QC的長(zhǎng)，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，利用勾股定理求得QC的長(zhǎng)，再求出AM，CM，利用等邊三角形性質(zhì)求出AP、PM、PC，由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：（Ⅰ）拋物線(xiàn)y=-x²-2x+3中，令y=-x²-2x+3=0，可得x₁=1，x₂=-3，
∴A（-3，0），C（1，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴B（0，3）；

（Ⅱ）∵點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，A（-3，0），C（1，0），
∴D（-1，0），
∵BE=2DE，B（0，3），
∴E（-$\frac{2}{3}$，1），
設(shè)直線(xiàn)CE為y=kx+b，把C（1，0），E（-$\frac{2}{3}$，1）代入，可得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{3}k+b=1}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{5}}\\{b=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)CE為y=-$\frac{3}{5}$x+$\frac{3}{5}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{12}{5}}\\{y=\frac{51}{25}}\end{array}\right.$，
∵M(jìn)在第二象限，
∴M（-$\frac{12}{5}$，$\frac{51}{25}$）；

（Ⅲ）∵△APR和△AGQ是等邊三角形，
∴AP=AR=PR，AQ=AG，∠QAG=∠RAP=60°，
∴∠QAR=∠GAP，
在△QAR和△GAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AG}\\{∠QAR=∠GAP}\\{AR=AP}\end{array}\right.$，
∴△QAR≌△GAP（SAS），
∴QR=PG，
∴PA+PC+PG=PR+PC+QR，
∴當(dāng)Q，R，P，C共線(xiàn)時(shí)，PA+PC+PG的值最小，即為線(xiàn)段QC的長(zhǎng)，
如圖3，作QN⊥OA于N，作AM⊥CQ于M，作PK⊥CN于K，
依題意得∠GAO=45°+15°=60°，AO=3，
∴AG=GQ=QA=6，∠AGO=30°，OG=3$\sqrt{3}$，
∵∠AGQ=60°，
∴∠QGO=90°，
∴Q（-6，3$\sqrt{3}$），
在Rt△QNC中，QN=3$\sqrt{3}$，CN=6+1=7，
∴QC=$\sqrt{Q{N}^{2}+C{N}^{2}}$=2$\sqrt{19}$，即PA+PC+PG的最小值為2$\sqrt{19}$，
∴sin∠ACM=$\frac{AM}{AC}$=$\frac{QN}{QC}$，
∴AM=$\frac{AC•QN}{QC}$=$\frac{6\sqrt{57}}{19}$，
∵△APR是等邊三角形，
∴∠APM=60°，PM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AM，MC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{14\sqrt{19}}{19}$，
∴PC=CM-PM=$\frac{8\sqrt{19}}{19}$，
∵sin∠PCN=$\frac{PK}{PC}$=$\frac{QN}{QC}$，cos∠PCN=$\frac{CK}{CP}$=$\frac{CN}{CQ}$，
∴PK=$\frac{12\sqrt{3}}{19}$，CK=$\frac{28}{19}$，
∴OK=$\frac{9}{19}$，
∴P（-$\frac{9}{19}$，$\frac{12\sqrt{3}}{19}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形等知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解Q、R、P、C共線(xiàn)時(shí)，PA+PG+PC最小，學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理計(jì)算求解．