Question

13．如圖所示，直線AB與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于A，B兩點(diǎn)，直線AB與x、y坐標(biāo)軸分別交于C，D兩點(diǎn)，連接OA，若OA=2$\sqrt{13}$，tan∠AOC=$\frac{2}{3}$，B（-3，m）
（1）分別求一次函數(shù)與反比例函數(shù)式．
（2）連接OB，在x軸上求點(diǎn)P的坐標(biāo)，△AOP的面積等于△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）過(guò)A作AE⊥OC與E，根據(jù)已知條件和勾股定理得到A（-6，4），由直線AB與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于A，B兩點(diǎn)，得到k=-6×4=-3m，解方程和方程組即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)P（n，0），根據(jù)△AOP的面積等于△AOB的面積，列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）過(guò)A作AE⊥OC與E，
∵tan∠AOC=$\frac{2}{3}$，
∴設(shè)AE=2x，OE=3x，
∴AO=$\sqrt{（2x）^{2}+（3x）^{2}}$=$\sqrt{13}$x=2$\sqrt{13}$，
∴x=2，
∴AE=4，OE=6，
∴A（-6，4），
∴線AB與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于A，B兩點(diǎn)，
∴k=-6×4=-3m，
∴k=-24，m=8，
∴反比例函數(shù)式為y=-$\frac{24}{x}$，B（-3，8），
設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{8=-3k+b}\\{4=-6k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+12；

（2）設(shè)P（n，0），
∵△AOP的面積等于△AOB的面積，
∴$\frac{1}{2}$|n|×4=$\frac{1}{2}$（4+8）×3，
∴n=±9，
∴P（9，0）或（-9，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，比較簡(jiǎn)單．正確求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．