Question

5．已知：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，-1），以M（-1，0）為圓心，以AM為半徑的圓交y軸于點(diǎn)B，連結(jié)BM并延長(zhǎng)交⊙M于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)為$\frac{5}{3}$的線段PQ∥x軸（點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)），連結(jié)AQ．

（1）求⊙M的半徑長(zhǎng)和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）如圖2，連結(jié)AC，交線段PQ于點(diǎn)N，
①求AC所在直線的解析式；
②當(dāng)PN=QN時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)的過程中，請(qǐng)直接寫出AQ的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，過點(diǎn)A作AE⊥x軸，分別在Rt△AEM和Rt△NOM中利用勾股定理即可解決問題．
（2）①設(shè)解析式為設(shè)y_AC=kx+b，利用待定系數(shù)法即可解決問題．②可求y_BC=3x+3，設(shè)點(diǎn)P（x，3x+3）．由題意得點(diǎn)N為（x+$\frac{5}{6}$，3x+3），因?yàn)辄c(diǎn)N落在AC上，所以3x+3=$\frac{1}{2}$（ x+$\frac{5}{6}$）-2，列方程即可解決問題．
（3）當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，Q（-$\frac{1}{3}$，-3），此時(shí)AQ′=$\frac{\sqrt{85}}{3}$，過點(diǎn)Q平行BC的直線的解析式為y=3x-2，過點(diǎn)A垂直BC的直線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，與直線y=3x-2的交點(diǎn)為Q′，此時(shí)AQ′最小，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，Q″（$\frac{5}{3}$，3），此時(shí)AQ″=$\sqrt{（2-\frac{5}{3}）^{2}+（-1-3）^{2}}$=$\frac{\sqrt{145}}{3}$，由此即可判斷PQ的最大值．

解答 解：（1）如圖1中，過點(diǎn)A作AE⊥x軸，

則AE=1，ME=3，
∴AM=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，即半徑為$\sqrt{10}$，
所以BM=$\sqrt{10}$，
∵OM=1，
∴OB=$\sqrt{B{M}^{2}-O{M}^{2}}$=3，即點(diǎn)B（0，3）．

（2）如圖2中，

①設(shè)解析式為設(shè)y_AC=kx+b，
由題意得點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)M成中心對(duì)稱，
∴點(diǎn)C（-2，-3）（也可以通過構(gòu)造全等三角形說明），
又點(diǎn)A（2，-1），
即當(dāng)x=2時(shí)，y=-1；當(dāng)x=-2時(shí)，y=-3，
解得k=$\frac{1}{2}$，b=-2
∴y_AC=$\frac{1}{2}$x-2，

②可求y_BC=3x+3，設(shè)點(diǎn)P（x，3x+3）．
由題意得點(diǎn)N為（x+$\frac{5}{6}$，3x+3）
∵點(diǎn)N落在AC上，所以3x+3=$\frac{1}{2}$（ x+$\frac{5}{6}$）-2
解得x=-$\frac{11}{6}$
所以點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-$\frac{1}{6}$，-$\frac{5}{2}$）．

（3）如圖3中，

當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，Q（-$\frac{1}{3}$，-3），此時(shí)AQ′=$\frac{\sqrt{85}}{3}$，過點(diǎn)Q平行BC的直線的解析式為y=3x-2，
過點(diǎn)A垂直BC的直線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，與直線y=3x-2的交點(diǎn)為Q′，此時(shí)AQ′最�。ù咕�段最短），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}}\\{y=3x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴Q′（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴AQ的最小值為$\sqrt{（2-\frac{1}{2}）^{2}+（-1+\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，Q″（$\frac{5}{3}$，3），此時(shí)AQ″=$\sqrt{（2-\frac{5}{3}）^{2}+（-1-3）^{2}}$=$\frac{\sqrt{145}}{3}$，
∴AQ最大值為$\frac{\sqrt{145}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、待定系數(shù)法、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?jí)狠S題．