Question

10．（1）已知點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)如圖1，射線PM⊥AB，用直尺和圓規(guī)在PM上找一點(diǎn)C，使得PC²=AP•PB
（2）如圖2，平行四邊形ABCD中，DP⊥AB于P，PD²=AP•PB，△BCD的面積和周長(zhǎng)均為24，求PD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用垂徑定理結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出C點(diǎn)即可；
（2）將等積式PD²=AP•PB化為等比式，可得到△DAP∽△BDP，設(shè)AD=a，BD=b，AB=c，列出方程組即可解答．

解答 解：（1）如圖所示：作AB的垂直平分線，以O(shè)為圓心，$\frac{1}{2}$AB為半徑作圓，射線PM交⊙O于點(diǎn)C，C點(diǎn)即為所求．


（2）∵PD²=AP•PB，
∴PD：AP=PB：PD，
又∵DP⊥AB于P，
∴∠DPA=∠DPB，
∴△DAP∽△BDP，
∴∠ADB=90°，
設(shè)AD=a，BD=b，AB=c，
由題意得，
$\left\{\begin{array}{l}{ab=48}\\{a+b+c=24}\\{{a}^{2}+^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得，AB=c=10，
∵$\frac{1}{2}$DP•AB=$\frac{1}{2}$AD•DB=$\frac{1}{2}$×48=24，
∴PD=4.8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，找到△DAP∽△BDP并利用相似三角形的性質(zhì)找到相等的直角是解題的關(guān)鍵．