Question

13．已知，如圖所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，M是DE的中點(diǎn)，BE與AM交于點(diǎn)N．求證：∠EBC=∠DAM．

Answer 1

分析 取AD的中點(diǎn)H，連接HM，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到HM∥AC，得到∠DHM=∠DAC，根據(jù)已知條件得到∠DAC=∠EDC，于是得到∠AHM=∠BDE，推出△DEC∽△AED，得到$\frac{DC}{AD}=\frac{DE}{AE}$等量代換得到$\frac{BD}{AH}=\frac{DE}{HM}$，求得△BDE∽△AHM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：取AD的中點(diǎn)H，連接HM，
∵M(jìn)是DE的中點(diǎn)，
∴HM∥AC，
∴∠DHM=∠DAC，
∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠DAC=∠EDC，
∴∠AHM=∠BDE，
∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴△DEC∽△AED，
∴$\frac{DC}{AD}=\frac{DE}{AE}$，
∵AD=2AE，AE=2HM，BD=CD，
∴$\frac{BD}{AH}=\frac{DE}{HM}$，
∴△BDE∽△AHM，
∴∠EBD=∠DAM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．