Question

20．已知在△ABC中，∠ACD=90°，AC=BC=2，BD是∠ABC的平分線，M、N分別是BC、BD上任意一點，當MN+CN最小時，CN長為2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 根據已知條件結合圖形構造全等三角形，利用三角形的三邊的關系確定線段和的最小值，然后根據勾股定理即可求得CN的長．

解答 解：如圖，在BA上截取BM=BM′，連接CM′．
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵BD平分∠ABC，
∴∠NBM=∠NBM′，
在△BMN與△BM′N中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=BM′}\\{∠NBM=∠NBM′}\\{BN=BN}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△BM′N（SAS），
∴MN=M′N，
∴MN+CN=CN+M′N≥CM′．
∵CN+MN有最小值．
當CM′是點C到直線AB的距離時，CM′為最小值，
所以CN+MN的最小值是$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
∵BM=BM′=$\sqrt{2}$，
∴CM=BC-BM=2-$\sqrt{2}$，
設MN=x，則M′N=x，
∴CN=$\sqrt{2}$-x，
在RT△MNC中，CN²=MN²+MC²，即（$\sqrt{2}$-x）²=x²+（2-$\sqrt{2}$）²，
解得，x=2$\sqrt{2}$-2，
∴CN=2$\sqrt{2}$-2．
故答案為2$\sqrt{2}$-2．

點評 此題考查了線路最短的問題，確定動點N為何位置時，使MN+CN的值最小是關鍵．