Question

6．閱讀下列材料：
方程$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1}{x-3}$的解為x=1，
方程$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{x-3}$-$\frac{1}{x-4}$的解為x=2，
方程$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x-2}$=$\frac{1}{x-4}$-$\frac{1}{x-5}$的解為x=3．
（1）探究：觀察前面方程的解的特征，寫出解為x=8的方程；
（2）歸納：觀察前面方程的解的特征，寫出解為x=n（n為正整數(shù)）的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律：方程的解是方程的最簡公分母為零時(shí)x值的平均數(shù)，可得答案；
（2）根據(jù)規(guī)律，可得方程．

解答 解：（1）∵方程$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1}{x-3}$的解為x=1，
方程$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{x-3}$-$\frac{1}{x-4}$的解為x=2，
方程$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x-2}$=$\frac{1}{x-4}$-$\frac{1}{x-5}$的解為x=3．
…
∴$\frac{1}{x-n}$-$\frac{1}{x-（n+1）}$=$\frac{1}{x-（n+3）}$-$\frac{1}{x-（n+4）}$（n為整數(shù)）的解為x=n+2．
∴$\frac{1}{x-6}$-$\frac{1}{x-7}$=$\frac{1}{x-9}$-$\frac{1}{x-10}$的解為x=8；

（2）由（1）知，關(guān)于x的方程$\frac{1}{（n+1）-x}$-$\frac{1}{（n+2）-x}$=$\frac{1}{（n-2）-x}$-$\frac{1}{（n-1）-x}$的解是x=n（n為整數(shù)）．

點(diǎn)評 本題考查了分式方程的解，觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵．